PageRank算法–从原理到实现 – 刀刀流

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本文将绍介PageRank算法的有关主题。,详细如次:

1。算法源
2。算法规律
三。算法验证
意思计算办法
幂迭代法
固有值法
代数法
5.算法实现
由于迭代法的复杂实现
5.2 MapReduce实现
算法的缺陷
7。写完
参考资料


1. 算法源

这葡萄汁从搜索引擎的开展开端。。最早应用的搜索引擎是 分级目录[^ref_1] 的办法,即,手工生产分级网页和机构高能力网站。。既然 Yahoo 和海内的 hao123 这执意它被应用的方法。。

后头,越来越多的网页。,手工分级是不现实的。。搜索引擎在。 课文检索 的新时代,即,计算用户查询保留字和Web CONE私下的相关性。。这种办法溃了合计的限度局限。,话虽这样说搜索导致缺陷晴天。。因始终相反地网页来回地骨碌经过间的一党派电子琴。。

因而we的缠住格形式的用水砣测深将攀登舞台前部装置。。没错,谷歌的两位创始人,事先,斯坦福学院。 (斯坦福学院) 学院) 做研究生的呼叫 (拉里 页) 布林 (克里维茨 布林) 对网页资料排架的做研究开端。。他们运用学术评价的普通办法对ACA的意思举行了讨论。, 那执意看报纸被援用多少次。。从刚过去的角度视图,网页的意思也可以被评价为ACC。。乃PageRank的鼓励思惟是[^ RefI2]的长。,这很复杂:

  • 也许网页被很多的对立的事物网页并置,刚过去的呼叫就更要紧了。,即,PageRank值将对立较高。
  • 也许具有高PageRank值的网页并置到另东西网页,并置的网页的PageRank值将相当的补充

如次图所示(思想图)

思想图


2. 算法规律

PageRank算法[^ref_3]概括地说执意事后给每个网页东西PR值(下面用PR值证明人PageRank值),因PR值是自然的意思上的,网页是AC的概率。,因而普通来说 \frac{1}{N} $,n这是东西网页总额。。对立的事物,普通使习惯于下,缠住网页上公关的意思积和为1。。也许缺陷1,那缺陷做不到的的。,不成更改的,差别网页私下的pr值私下的相干是STI。,它不克不及直觉的映像概率。。

预架置PR值后,,迭代经过下面的算法,直抵达成平静散布。。

因特网上的很多的网页可乐趣有向图。。下面是东西复杂的建议[^ RefMy4]:

sample1

此刻,A的pr值可以表现为:

\[ PR(a) = PR(b) + PR(C) \]

以及C在远处,,B和D有不不过又链。,乃,上述的表达式是不正确的。。补助金用户现时阅读B网页。,乃,下一步他翻开对开的纸或D页是统计数字上恒等的的概率。。乃,A公关的意思葡萄汁表现为:

\[ PR(a) = \frac{PR(b)}{2} + \frac{PR(C)}{1} \]

有些网页在互联网广播网上不在。,如次图:

sample1

图中间的C页缺乏外链。,无PR值对对立的事物网页的奉献,we的缠住格形式讨厌刚过去的自私自利的网页。 Markov 链收敛,乃,它为缠住网页找到了东西链,包孕它自己。,图中间的a的pr值可以表现为:

\[ PR(a) = \frac{PR(b)}{2} + \frac{PR(C)}{4} \]

话虽这样说让we的缠住格形式思索可供选择的事物使习惯于。:互联网广播网上的网页就是它自己的束缚。,或几页的链队形东西绕过。。在延续迭代进行中,这对开的纸或更多页的pr值只会补充。,显然是不讲理的的。。比如,下面的图片中间的C页不过J的网页。:

sample3

为了处理刚过去的问题。we的缠住格形式设想东西恣意的广播网阅读器。,当他抵达C网页时,显然缺陷傻孩子地被C的幼稚的人困住了。。we的缠住格形式补助金他有必然的可能性,他将进入广播网地址。,跳到每个网页的概率是同样的的。。因此图中间的a的pr值可以表现为:

\[ PR(a) = \alpha(\frac{PR(b)}{2}) + \frac{(1 – \alpha)}{4}\]

在普通使习惯于下,网页的pr值按如次计算:

\[ PR(p_{i}) = \alpha \sum_{p_{j} \in M_{p_{i}}} \frac{PR(p_{j})}{L(p_{j})} + \frac{(1 – \alpha)}{N} \]

经过\(M_{p_{i}}\)是缠住对\(p_{i}\)带链的网页,\(L(p_{j})\)这是东西网页\(p_{j}\)退场链数,\(N\)这是东西网页总额,\(\alpha\)普通采用。
基本原则下面的表达式,we的缠住格形式可以计算每个网页公关的意思。,当迭代稳固摆脱掉时,这执意终极导致。。详细来说,方式稳固。,we的缠住格形式在下面的PR意思计算办法党派重制解说。


3. 算法验证

  • $ \lim_{n 姓 \infty}P_{n} 它在吗?
  • 也许在限度,可能的选择与\(P_0\)选择有关吗?

PageRank算法的效力包孕下两点[^。为出恭起见,让we的缠住格形式先变换PR值的计算办法。。

言传身教。

sample3

we的缠住格形式可以用矩阵来表现链和柴私下的相干。,\(S_{ij} = 0\)表现\(j\)缺乏呼叫。\(i\)广播网退场链:

\[ S =
\left(
\begin{array}{cccc}
0 & 1/2 & 0 & 0 \\
1/3 & 0 & 0 & 1/2 \\
1/3 & 0 & 1 & 1/2 \\
1/3 & 1/2 & 0 & 0 \\
\end{array}
右)
\]

\(e\)倾向于缠住部件 1 的列航向,因此限界矩阵。:

\[ A = \alpha S + \frac{(1 – \alpha)}{N}ee^T \]

PR值按如次计算,经过\(P_{n}\)由N个迭代中间的每个呼叫公关的意思结合的列航向。:

\[ P_{n+1} = A P_{n} \]

乃,PR值的计算发生东西进行。 Markov 进行,因此将PageRank算法的验证转变为验证。 Markov 进行收敛性验证:也许刚过去的 Markov 进行收敛,这么$ \lim_{n 姓 \infty}P_{n} (在),与P00$的选择与它有关。。

也许A Markov 进行收敛,因此它的国务的转变矩阵(A)必要缓和[^ Ref6]:

  1. A是东西随机矩阵。。
  2. A是不成约的。。
  3. A挑剔周期性的。。

先看第少数。,随机矩阵也称为概率矩阵。 Markov 矩阵,缓和下列的养护:

\[
A.中矩阵I的线J元素A{{ij},则
\forall i = 1 \dots n, j = 1 \dots n, a_{ij} \geq 0, 且
\forall i = 1 \dots n, \sum_{j = 1}^n a_{ij} = 1
\]

显然,we的缠住格形式A矩阵的缠住元素都大于或本利之和0。,每个列有1个元素。。

其次点,不成约矩阵:方针A是不成约的。当且仅当与A对应的有向图是强联通的。有向图\(G = (V,E)\)它是强连通的,且仅倾向于每对装满。\(u,v \in V\),在从\(u\)\(v\)的方法。因we的缠住格形式在垄断设定用户在阅读呼叫的时分有决定概率经过输出网址的方法作客东西随机网页,乃,A矩阵也缓和不成约的需求。。

第三点,需求A挑剔周期性的。。同样的周期性,映像在马尔柯夫链的周期性。。也许A是周期性的。,因此,马尔柯夫链的国务的是周期性的。。因A是素矩阵(素矩阵指自己的某个次幂为正矩阵的矩阵),因而A挑剔周期性的。。

这样,验证了PageRank算法的效力。。


4. PR意思计算办法

幂迭代法

率先,为每个呼叫分派东西随机PR值。,因此经过 P_{n+1} = A P_{n} 迭代迭代PR值。当缓和以下不均等时,迭代完毕。,获取缠住呼叫公关的意思:

\[ |P_{n+1} – P_{n}| < \epsilon \]

固有值法

当上述的马尔柯夫链收敛时,,必有:

\[
P = A P 姓 P是对应于矩阵1的固有值的特征航向。 \\
(随机矩阵必需具有固有值1)。,本征航向的缠住重任均为正或负。
\]

代数法

相像的,当上述的马尔柯夫链收敛时,,必有:

\[
P = A P \\
姓 P = \lgroup \alpha S + \frac{(1 – \alpha)}{N}ee^T \rgroup P \\
因 e倾向于缠住部件 1 的列航向,P的缠住身分积和为1。 \\
姓 P = \alpha SP + \frac{(1 – \alpha)}{N}e \\
姓 (ee^T – \alpha S)P = \frac{(1 – \alpha)}{N}e \\
姓 P = (ee^T – \alpha S)^{-1} \frac{(1 – \alpha)}{N}e \\
\]


5. 算法实现

由于迭代法的复杂实现

用python实现[^ref_7],你必要先架置Python图形鼓励。。

# -*- coding: utf-8 -*-

from pygraph.classes.digraph import digraph


class PRIterator:
    __doc__ = 计算图片中公关的意思。

    def __init__(self, DG)
         =   # 使潮湿系数,即α
         = 100  # 最大迭代次数
        self.min_delta = 0001  # 决定迭代可能的选择完毕。,即ϵ
         = dg

    def page_rank(self):
        #  率先,在图中缺乏链的装满被变换为具有链F。
        for node in .nodes():
            if LeN((装满)) == 0:
                for node2 in .nodes():
                    (, (装满), node2))

        nodes = .nodes()
        graph_size = len(装满)s)

        if graph_size == 0:
            return {}
        page_rank = (装满)s, 1.0 / graph_size)  # 将初始PR值分派给每个装满。
        damping_value = (1.0 - ) / graph_size  # 表达式的(1*a)/n党派

        flag = False
        for i in range():
            change = 0
            for node in nodes:
                rank = 0
                for incident_page in .incidents(装满)):  # 遍历缠住输出呼叫
                    rank +=  * (page_rank[incident_page] / len((incident_page)))
                rank += damping_value
                change += ABS(PaGeQueRange[装满] - 评分)  # 模数
                page_rank[装满] = rank

            蜡纸油印件(刚过去的 is NO.%s iteration" % (i + 1))
            print(page_评分)

            if change < self.min_delta:
                flag = True
                break
        if flag:
            print("finished in %s iterations!" % node)
        else:
            print("finished out of 100 iterations!")
        return page_rank


if __name__ == ''__main__'':
    dg = digraph()

    [(a)], "B", "C", "D", "E"])

    ((a), "B"))
    ((a), "C"))
    ((a), "D"))
    (("B", "D"))
    (("C", "E"))
    (("D", "E"))
    (("B", "E"))
    (("E", A

    pr = PRIterator(dg)
    page_ranks = ()

    蜡纸油印件( final page rank is\n", page_ranks)

运行导致:

finished in 36 iterations!
The final page rank is
{A , ''C'': , ''B'': , ''E'': , ''D'': }

程序中给出的网页私下的相干从:

begin

迭代的完毕如次:

end

5.2 MapReduce实现

作为Hadoop(散布式系统平台)的鼓励模块之一,MapReduce是一种高效的散布式计算框架。。让we的缠住格形式从MapReduce规律的复杂绍介开端。。

同样的的MapReduce,有两个操作。:Mapping和Reducing[^ref_8]。

  • 映射(映射):对集合中间的每个目标应用恒等的的操作。。
  • 简化(约简) ):遍历返回的映射中返回的元素以返回东西综合。

举个典型建议。:现时有3个课文文件。,有必要计算缠住有吸引力的单词的词频。。传统的想法是让东西人顺序阅读这3个文件,每遇到东西字,看看你以前可能的选择见过面。。词频加上遇到的东西。:(词语),N + 1),否则,新单词将被记录下来。,词频一:(词语),1)。

MapReduce方法是:把这3份文件分成3个人。,每个人都阅读文档。。每当我遇到东西字,把刚过去的单词记下来。:(词语),1)(无论你以前可能的选择遇到过刚过去的词),即,可能有多个恒等的的词。。之后,将发送另东西人来添加恒等的的单词。,终极的导致可以得到。。

词频统计的详细实现可见点我。

下面是应用MapReduce实现PageRank的详细代码[^ref_9]。率先是通用地图和还原模块。。也许你觉得很难理解,可以先看看词频统计的实现代码,下面的模块也被应用。:

class MapReduce:
    __doc__ = ''提供MaPixRead函数''。

    @staticmethod
    def map_reduce(i, mapper, 减速机)
        """
        map_reduce办法
        :param i: 必要东西MapReduce的集合。
        :param mapper: 自限界映射器办法
        :param reducer: 定制减速器法
        :return: 以定制减速器法的返回值为元素的东西列表
        """
        intermediate = []  # 存储缠住(中间的)密钥, intermediate_意思)
        for (钥匙, 意思) in i.items():
            (mapper(钥匙, 意思))

        # 排序返回东西有序的列表。,因列表中间的元素是元组。,密钥是基本原则元组中间的前几个元素来设置的。
        # GROPBY提取迭代器中间的相邻重复元素,并将T,密钥基本原则前几项设置重复元素的选择。
        # 下面的循环中groupby返回的key是intermediate_key,和组是列表。,它是1个或更多。
        # 有着恒等的intermediate_key的(intermediate_key, intermediate_意思)
        groups = {}
        for key, group in itertools.groupby(sorted(intermediate, key=lambda im: IM〔0〕, key=lambda x: x[0]):
            组[键] = [y for x, y in 组
        # 群组是一本字典。,它的关键是下面提到的中间体。,value为缠住对应intermediate_key的intermediate_value
        # 部件列表
        return [reducer(intermediate_key, groups[intermediate_key]) for intermediate_key in 组

接下来是PR值的计算的类。,经过实现了用于PR值的计算的mapper和reducer:

class PRMapReduce:
    __doc__ = PR值的计算

    def __init__(self, DG)
         =   # 使潮湿系数,即α
         = 100  # 最大迭代次数
        self.min_delta = 0001  # 决定迭代可能的选择完毕。,即ϵ
         = len(())  # 网页总额

        # 图代表整个广播网图。。是字典类型。
        # graph[i][0] 存储呼叫公关的意思
        # graph[i][1] 存放第i广播网退场链合计
        # graph[i][2] 存放第i广播网退场链网页,这是一张单子。
         = {}
        for node in ():
            [装满] = [1.0 / , LeN((装满)), (装满))]

    def ip_mapper(self, input_key, input_意思):
        """
        查看网页可能的选择有链。,返回值中间的 1 缺乏自然的意思。,不过为了在
        MpjRoad中间的组字典的密钥仅为1。,相当的的值都是挂起的网页。
        公关的意思
        :param input_key: 网页名,如 A
        :param input_value: [input_key]
        :return: 也许缺乏退场链,挂网页,因此回到[(1),刚过去的网页公关的意思)];否则,它将返回。
        """
        if input_value[1] == 0:
            return [(1, input_值〔0〕]
        else:
            return []

    def ip_reducer(self, input_key, input_value_list):
        """
        计算缠住悬挂网页公关的意思积和
        :param input_key: 基本原则IPML映射器的返回值,刚过去的输出键是:1
        :param input_value_list: 缠住悬挂网页公关的意思
        :return: 缠住悬挂网页公关的意思积和
        """
        return sum(input_value_list)

    def pr_mapper(self, input_key, input_意思):
        """
        映射法
        :param input_key: 网页名,如 A
        :param input_value: [input_key],即,刚过去的网页上的相关信息。
        :return: [网页名称], ), (外链第1页), 出链网页1分得公关的意思), (外链第2页), 出链网页2分得公关的意思)...]
        """
        return [(input_key, )] + [(out_link, input_value[0] / input_value[1]) for out_link in input_value[2]]

    def pr_reducer_inter(self, intermediate_key, intermediate_value_list, DP)
        """
        还原法
        :param intermediate_key: 网页名,如 A
        :param intermediate_value_list: A缠住分得公关的意思的列表:[,分得公关的意思,分得公关的意思...]
        :param dp: 缠住悬挂网页公关的意思积和
        :return: (页名),计算所得公关的意思)
        """
        return (intermediate_key,
                 * sum(intermediate_value_list) +
                 * dp /  +
                (1.0 - ) / )

    def page_rank(self):
        """
        PR值的计算,每次迭代都必要两次调用MapReduce。。一次是计算悬挂网页PR值积和,一次
        是计算缠住网页公关的意思
        :return: ,经过公关的意思已经计算好
        """
        iteration = 1  # 迭代次数
        change = 1  # 记录每轮迭代后公关的意思变化使习惯于,初始值为1,确保至少一次迭代。
        while change > self.min_delta:
            蜡纸油印件(迭代 " + STR(迭代)

            # 因可能有网页挂起。,这执意为什么we的缠住格形式有以下的DangLink列表。
            # dangling_list存放的是[缠住悬挂网页公关的意思积和]
            # dp表现缠住悬挂网页公关的意思积和
            dangling_list = (, self.ip_mapper, self.ip_reducer)
            if dangling_list:
                dp = dangling_list[0]
            else:
                dp = 0

            # 因所需的减速器只能有两个参数。,而we的缠住格形式
            # 必要传3个参数(多了东西缠住悬挂网页公关的意思积和,即,DP),因而用它
            # 下面的lambda表达式用于实现该目标。
            # NexPr是东西列表。,元素为:(页名),计算所得公关的意思)
            new_pr = (, self.pr_mapper, lambda x, y: self.pr_reducer_inter(x, y, DP)

            # 计算刚过去的车轮的PR值的变化。
            change = 求和([ABS(NexPr[i])〔1〕 - [new_pr[i][0]][0]) for i in range()])
            蜡纸油印件(更改 " + STR(变化)

            # 更新公关意思
            for i in range():
                [new_pr[i][0]][0] = new_pr[i][1]
            iteration += 1
        return 

不成更改的一党派是测试党派。,我用Python的有向图来创建有向图。,并调用下面的办法来PR值的计算:

if __name__ == ''__main__'':
    dg = digraph()

    [(a)], "B", "C", "D", "E"])

    ((a), "B"))
    ((a), "C"))
    ((a), "D"))
    (("B", "D"))
    (("C", "E"))
    (("D", "E"))
    (("B", "E"))
    (("E", A

    pr = PRMapReduce(dg)
    page_ranks = ()

    蜡纸油印件( final page rank 是
    for key, value in page_ranks.items():
        print(钥匙 + " : ", 值〔0〕

附加操作导致:

Iteration: 44
Change: 1.275194338951069e-05
Iteration: 45
Change: 1.0046004543212694e-05
Iteration: 46
Change: 7.15337406470562e-06
The final page rank is
E :  0.3133376132128915
C :  0.11396289866948645
B :  0.11396289866948645
A :  0.2963400114149353
D :  0.1623965780332006

下便是PageRank的MapReduce实现。代码中间的注释更详细。,这葡萄汁很容易理解。。


这是东西天才算法。,规律复杂,效果却令人惊叹。。然而,在PageRank算法中仍然在经过间的一党派缺陷。。

第一,站导航链路私下缺乏区别。。很多的网站有很多并置到对立的事物网页在他们的主页上。,称为并置导航并置。这些并置与差别网站私下的并置举行比较。,当因此者更能传递传递相干。。

其次,缺乏过滤并置和功能并置被过滤。(比如,共同分享微博)。。这些并置通常缺乏什么实用意思。,前者并置到广告呼叫。,后者经常并置到社交网站的主页。。

第三,对新网页不友好。东西新的网页的总入口链对立较小。,即使它的内容是高能力的。,它仍然必要很长的时间才能发生东西高PR值呼叫。。

针对PageRank算法的不足,有人建议。TrustRank算法。它最初来自斯坦福学院和雅虎的联合做研究。,用于检测垃圾网站。TrestRANK算法的工作规律:率先,手工生产识别高能力呼叫(即种子页)。,由种子页引导的呼叫也可以是东西高能力的呼叫。,即,它的Tr值也很高。,并置从种子呼叫越远。,呼叫的TR值越低。。种子页可以选择更多并置的呼叫。,可选地,具有较高PR值的网站也是可用的。。

TrestRANK算法给出了每个网页的TR值。。将PR值与TR值相结合。,你可以更正确地判断网页的意思。。


7. 写在不成更改的

谷歌应用PR值对网页举行分级。,有0~10级,普通4或下是好主页。。谷歌自己的公关意思是9。,百度也是9。,博客园公关的意思则为6。

如今,公关意思已经不像以前这么要紧了。、广告并置和功能并置导致公关本身的意思,对新网页不友好。,但PR仍然是交通交易中非常要紧的参考因素。。

不成更改的,有东西图形网站,为PageRank提供动态图表。:点我。

最近,博客花园对标记语法的支持率不高。。也许表达式不完整,,你可以在这里看到。。

参考资料

1:这是搜索引擎。:鼓励技术详解,张俊林

2:PageRank长于那一年的论文:The PageRank Citation Ranking: Bringing Order to the Web

3:维基百科PageRank

4:PageRank算法简介及Map-Reduce实现

5:博客谷歌背后的数学,陆长海

6背后的数学:博客PageRank

7:PageRank算法

8:MapReduce规律与设计思惟

9:应用 MapReduce to compute PageRank

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