PageRank算法–从原理到实现 – 刀刀流

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本文将引见PageRank算法的有关主题。,详细列举如下:

1。算法源
2。算法规律
三。算法显示
总额计算办法
幂迭代法
固有值法
代数法
5.算法实现
因迭代法的复杂实现
5.2 MapReduce实现
算法的缺陷
7。写完
参考资料


1. 算法源

这必需做的事从搜索引擎的开展开端。。最早应用的搜索引擎是 类别目录[^ref_1] 的办法,即,人工操作类别网页和一套高群众的网站。。其时 Yahoo 和海内的 hao123 这执意它被应用的方法。。

后头,越来越多的网页。,手工类别是不现实的。。搜索引擎在。 发短信检索 的新时代,即,计算用户查询保留字和Web CONE私下的相关性。。这种办法打破了编号的限度局限。,可是搜索终于故障精致的。。因永远少量网页往复地骨碌少量地指板。。

因而我们家的领导将克服演出。。没错,谷歌的两位创始人,事先,斯坦福大学校舍。 (斯坦福大学校舍) 大学校舍) 结论生的呼叫 (拉里 页) 布林 (波兹南队员克里维茨 布林) 对网页挑选的结论开端。。他们运用学术评价的普通办法对ACA的真髓停止了根究。, 那执意看报纸被援用多少次。。从刚过去的角度看待,网页的真髓也可以被评价为ACC。。所以PageRank的核思惟是[^ RefI2]的落地。,这很复杂:

  • 结果网页被很多的宁静网页交链,刚过去的呼叫就更要紧了。,即,PageRank值将绝对较高。
  • 结果具有高PageRank值的网页交链到另独一网页,交链的网页的PageRank值将响应养育

列举如下图所示(设想图)

设想图


2. 算法规律

PageRank算法[^ref_3]总而言之执意预先准备好的给每个网页独一PR值(下面用PR值参考书PageRank值),因PR值是身体的意思上的,网页是AC的概率。,因而普通来说 \frac{1}{N} $,n这是独一网页总额。。旁白,普通使习惯于下,一切网页上公关的总额积和为1。。结果故障1,那故障做不到的的。,最后的,差额网页私下的pr值私下的相干是STI。,它不克不及直接地反应能力概率。。

预修理PR值后,,迭代经过下面的算法,直到完成平稳散布。。

因特网上的很多的网页可治疗有向图。。下面是独一复杂的诉讼手续[^ RefMy4]:

sample1

此刻,A的pr值可以表现为:

\[ PR(a) = PR(b) + PR(C) \]

而且C在更远处,,B和D有不已条款链。,所以,是你这么说的嘛!表达是不正确的。。如果用户现时阅读B网页。,所以,下一步他翻开对开的或D页是统计数字上俱的概率。。所以,A公关的总额必需做的事表现为:

\[ PR(a) = \frac{PR(b)}{2} + \frac{PR(C)}{1} \]

有些网页在互联网广播网上不在。,列举如下图:

sample1

图做成某事C页缺少外链。,无PR值对宁静网页的奉献,我们家不必要刚过去的自私自利的网页。 Markov 链收敛,所以,它为一切网页准备了独一链,包孕它自己。,图做成某事a的pr值可以表现为:

\[ PR(a) = \frac{PR(b)}{2} + \frac{PR(C)}{4} \]

可是让我们家思索另类的使习惯于。:互联网广播网上的网页单独的它自己的连锁。,或几页的链身材独一朝反方向。。在陆续迭代指引航线中,这对开的或更多页的pr值只会养育。,显然是无理性的生物的。。比如,下面的图片做成某事C页公正的J的网页。:

sample3

为了处理刚过去的问题。我们家设想独一恣意的广播网阅读器。,当他抵达C网页时,显然故障混地被C的孩子困住了。。我们家如果他有必然的可能性,他将进入广播网地址。,跳到每个网页的概率是两者都的。。这样图做成某事a的pr值可以表现为:

\[ PR(a) = \alpha(\frac{PR(b)}{2}) + \frac{(1 – \alpha)}{4}\]

在普通使习惯于下,网页的pr值按列举如下计算:

\[ PR(p_{i}) = \alpha \sum_{p_{j} \in M_{p_{i}}} \frac{PR(p_{j})}{L(p_{j})} + \frac{(1 – \alpha)}{N} \]

流行的\(M_{p_{i}}\)是一切对\(p_{i}\)带链的网页,\(L(p_{j})\)这是独一网页\(p_{j}\)退出链数,\(N\)这是独一网页总额,\(\alpha\)普通采用。
地面下面的表达,我们家可以计算每个网页公关的总额。,当迭代不乱羔羊皮时,这执意终极终于。。详细来说,若何不乱。,我们家在下面的PR总额计算办法参加重制解说。


3. 算法显示

  • $ \lim_{n 姓 \infty}P_{n} 它在吗?
  • 结果在界限,其中的哪一个与\(P_0\)选择无干吗?

PageRank算法的正当包孕在上文中两点[^。为实用的起见,让我们家先使变换PR值的计算办法。。

言传身教。

sample3

我们家可以用矩阵来表现链和柴私下的相干。,\(S_{ij} = 0\)表现\(j\)缺少呼叫。\(i\)广播网退出链:

\[ S =
\left(
\begin{array}{cccc}
0 & 1/2 & 0 & 0 \\
1/3 & 0 & 0 & 1/2 \\
1/3 & 0 & 1 & 1/2 \\
1/3 & 1/2 & 0 & 0 \\
\end{array}
右)
\]

\(e\)关于一切装配 1 的列矢径,和限界矩阵。:

\[ A = \alpha S + \frac{(1 – \alpha)}{N}ee^T \]

PR值按列举如下计算,流行的\(P_{n}\)由N个迭代做成某事每个呼叫公关的总额结合的列矢径。:

\[ P_{n+1} = A P_{n} \]

所以,PR值的计算译成独一指引航线。 Markov 指引航线,和将PageRank算法的显示转变为显示。 Markov 指引航线收敛性显示:结果刚过去的 Markov 指引航线收敛,这么$ \lim_{n 姓 \infty}P_{n} (在),与P00$的选择与它无干。。

结果A Markov 指引航线收敛,和它的使适应转变矩阵(A)必要缓和[^ Ref6]:

  1. A是独一随机矩阵。。
  2. A是不行约的。。
  3. A争吵周期性的。。

先看第稍许地。,随机矩阵也称为概率矩阵。 Markov 矩阵,缓和跟随合格证书:

\[
A.中矩阵I的线J元素A{{ij},则
\forall i = 1 \dots n, j = 1 \dots n, a_{ij} \geq 0, 且
\forall i = 1 \dots n, \sum_{j = 1}^n a_{ij} = 1
\]

显然,我们家A矩阵的一切元素都大于或总额0。,每个列有1个元素。。

秒点,不行约矩阵:方针A是不行约的。当且仅当与A对应的有向图是强联通的。有向图\(G = (V,E)\)它是强连通的,且仅关于每对混合物。\(u,v \in V\),在从\(u\)\(v\)的渠道。因我们家在预先阻止设定用户在阅读呼叫的时辰有决定概率经过输出网址的方法探望独一随机网页,所以,A矩阵也缓和不行约的邀请。。

第三点,邀请A争吵周期性的。。同样的人周期性,反应能力在马尔柯夫链的周期性。。结果A是周期性的。,和,马尔柯夫链的使适应是周期性的。。因A是素矩阵(素矩阵指自己的某个次幂为正矩阵的矩阵),因而A争吵周期性的。。

这么,显示了PageRank算法的正当。。


4. PR总额计算办法

幂迭代法

率先,为每个呼叫分派独一随机PR值。,和经过 P_{n+1} = A P_{n} 迭代迭代PR值。当缓和以下希望时,迭代完毕。,获取一切呼叫公关的总额:

\[ |P_{n+1} – P_{n}| < \epsilon \]

固有值法

当是你这么说的嘛!马尔柯夫链收敛时,,必有:

\[
P = A P 姓 P是对应于矩阵1的固有值的特征矢径。 \\
(随机矩阵必需具有固有值1)。,本征矢径的一切身分均为正或负。
\]

代数法

相像的,当是你这么说的嘛!马尔柯夫链收敛时,,必有:

\[
P = A P \\
姓 P = \lgroup \alpha S + \frac{(1 – \alpha)}{N}ee^T \rgroup P \\
因 e关于一切装配 1 的列矢径,P的一切身分积和为1。 \\
姓 P = \alpha SP + \frac{(1 – \alpha)}{N}e \\
姓 (ee^T – \alpha S)P = \frac{(1 – \alpha)}{N}e \\
姓 P = (ee^T – \alpha S)^{-1} \frac{(1 – \alpha)}{N}e \\
\]


5. 算法实现

因迭代法的复杂实现

用python实现[^ref_7],你必要先修理Python图形核。。

# -*- coding: utf-8 -*-

from pygraph.classes.digraph import digraph


class PRIterator:
    __doc__ = 计算图片中公关的总额。

    def __init__(self, DG)
         =   # 衰减系数,即α
         = 100  # 最大迭代次数
        self.min_delta = 0001  # 决定迭代其中的哪一个完毕。,即ϵ
         = dg

    def page_rank(self):
        #  率先,在图中缺少链的混合物被使变换为具有链F。
        for node in .nodes():
            if LeN((混合物)) == 0:
                for node2 in .nodes():
                    (, (混合物), node2))

        nodes = .nodes()
        graph_size = len(混合物)s)

        if graph_size == 0:
            return {}
        page_rank = (混合物)s, 1.0 / graph_size)  # 将初始PR值分派给每个混合物。
        damping_value = (1.0 - ) / graph_size  # 表达的(1*a)/n参加

        flag = False
        for i in range():
            change = 0
            for node in nodes:
                rank = 0
                for incident_page in .incidents(混合物)):  # 遍历一切输出呼叫
                    rank +=  * (page_rank[incident_page] / len((incident_page)))
                rank += damping_value
                change += ABS(PaGeQueRange[混合物] - 依序排列)  # 有无上权力或权威的
                page_rank[混合物] = rank

            蜡纸油印机(刚过去的 is NO.%s iteration" % (i + 1))
            print(page_依序排列)

            if change < self.min_delta:
                flag = True
                break
        if flag:
            print("finished in %s iterations!" % node)
        else:
            print("finished out of 100 iterations!")
        return page_rank


if __name__ == ''__main__'':
    dg = digraph()

    [(a)], "B", "C", "D", "E"])

    ((a), "B"))
    ((a), "C"))
    ((a), "D"))
    (("B", "D"))
    (("C", "E"))
    (("D", "E"))
    (("B", "E"))
    (("E", A

    pr = PRIterator(dg)
    page_ranks = ()

    蜡纸油印机( final page rank is\n", page_ranks)

运行终于:

finished in 36 iterations!
The final page rank is
{A , ''C'': , ''B'': , ''E'': , ''D'': }

程序中给出的网页私下的相干从:

begin

迭代的完毕列举如下:

end

5.2 MapReduce实现

作为Hadoop(散布式系统平台)的核模块之一,MapReduce是一种高效的散布式计算框架。。让我们家从MapReduce规律的复杂引见开端。。

同样的人的MapReduce,有两个操作。:Mapping和Reducing[^ref_8]。

  • 映射(映射):对集合做成某事每个目标应用俱的操作。。
  • 简化(约简) ):遍历返回的映射中返回的元素以返回独一综合。

举个典型诉讼手续。:现时有3个发短信文件。,有必要计算一切有吸引力的单词的词频。。传统的想法是让独一人顺序阅读这3个文件,每遇到独一字,看看你以前其中的哪一个见过面。。词频加上遇到的独一。:(词语),N + 1),否则,新单词将被记录下来。,词频一:(词语),1)。

MapReduce方法是:把这3份文件分成3个人。,每个人都阅读文档。。每当我遇到独一字,把刚过去的单词记下来。:(词语),1)(无论你以前其中的哪一个遇到过刚过去的词),即,可能有多个俱的词。。之后,将发送另独一人来添加俱的单词。,终极的终于可以得到。。

词频统计的详细实现可见点我。

下面是应用MapReduce实现PageRank的详细代码[^ref_9]。率先是通用地图和还原模块。。结果你觉得很难理解,可以先看看词频统计的实现代码,下面的模块也被应用。:

class MapReduce:
    __doc__ = ''提供MaPixRead函数''。

    @staticmethod
    def map_reduce(i, mapper, 减速机)
        """
        map_reduce办法
        :param i: 必要独一MapReduce的集合。
        :param mapper: 自限界映射器办法
        :param reducer: 定制减速器法
        :return: 以定制减速器法的返回值为元素的独一列表
        """
        intermediate = []  # 存储一切(中间的)密钥, intermediate_总额)
        for (钥匙, 总额) in i.items():
            (mapper(钥匙, 总额))

        # 排序返回独一有序的列表。,因列表做成某事元素是元组。,密钥是地面元组做成某事前几个元素来设置的。
        # GROPBY提取迭代器做成某事相邻重复元素,并将T,密钥地面前几项设置重复元素的选择。
        # 下面的循环中groupby返回的key是intermediate_key,和组是列表。,它是1个或更多。
        # 有着俱intermediate_key的(intermediate_key, intermediate_总额)
        groups = {}
        for key, group in itertools.groupby(sorted(intermediate, key=lambda im: IM〔0〕, key=lambda x: x[0]):
            组[键] = [y for x, y in 组
        # 群组是一本字典。,它的关键是下面提到的中间体。,value为一切对应intermediate_key的intermediate_value
        # 装配列表
        return [reducer(intermediate_key, groups[intermediate_key]) for intermediate_key in 组

接下来是PR值的计算的类。,流行的实现了用于PR值的计算的mapper和reducer:

class PRMapReduce:
    __doc__ = PR值的计算

    def __init__(self, DG)
         =   # 衰减系数,即α
         = 100  # 最大迭代次数
        self.min_delta = 0001  # 决定迭代其中的哪一个完毕。,即ϵ
         = len(())  # 网页总额

        # 图代表整个广播网图。。是字典类型。
        # graph[i][0] 存储呼叫公关的总额
        # graph[i][1] 存放第i广播网退出链编号
        # graph[i][2] 存放第i广播网退出链网页,这是一张单子。
         = {}
        for node in ():
            [混合物] = [1.0 / , LeN((混合物)), (混合物))]

    def ip_mapper(self, input_key, input_总额):
        """
        查看网页其中的哪一个有链。,返回值做成某事 1 缺少身体的意思。,公正的为了在
        MpjRoad做成某事组字典的密钥仅为1。,响应的值都是挂起的网页。
        公关的总额
        :param input_key: 网页名,如 A
        :param input_value: [input_key]
        :return: 结果缺少退出链,挂网页,和回到[(1),刚过去的网页公关的总额)];否则,它将返回。
        """
        if input_value[1] == 0:
            return [(1, input_值〔0〕]
        else:
            return []

    def ip_reducer(self, input_key, input_value_list):
        """
        计算一切悬挂网页公关的总额积和
        :param input_key: 地面IPML映射器的返回值,刚过去的输出键是:1
        :param input_value_list: 一切悬挂网页公关的总额
        :return: 一切悬挂网页公关的总额积和
        """
        return sum(input_value_list)

    def pr_mapper(self, input_key, input_总额):
        """
        映射法
        :param input_key: 网页名,如 A
        :param input_value: [input_key],即,刚过去的网页上的相关信息。
        :return: [网页名称], ), (外链第1页), 出链网页1分得公关的总额), (外链第2页), 出链网页2分得公关的总额)...]
        """
        return [(input_key, )] + [(out_link, input_value[0] / input_value[1]) for out_link in input_value[2]]

    def pr_reducer_inter(self, intermediate_key, intermediate_value_list, DP)
        """
        还原法
        :param intermediate_key: 网页名,如 A
        :param intermediate_value_list: A一切分得公关的总额的列表:[,分得公关的总额,分得公关的总额...]
        :param dp: 一切悬挂网页公关的总额积和
        :return: (页名),计算所得公关的总额)
        """
        return (intermediate_key,
                 * sum(intermediate_value_list) +
                 * dp /  +
                (1.0 - ) / )

    def page_rank(self):
        """
        PR值的计算,每次迭代都必要两次调用MapReduce。。一次是计算悬挂网页PR值积和,一次
        是计算一切网页公关的总额
        :return: ,流行的公关的总额已经计算好
        """
        iteration = 1  # 迭代次数
        change = 1  # 记录每轮迭代后公关的总额变化使习惯于,初始值为1,确保至少一次迭代。
        while change > self.min_delta:
            蜡纸油印机(迭代 " + STR(迭代)

            # 因可能有网页挂起。,这执意为什么我们家有以下的DangLink列表。
            # dangling_list存放的是[一切悬挂网页公关的总额积和]
            # dp表现一切悬挂网页公关的总额积和
            dangling_list = (, self.ip_mapper, self.ip_reducer)
            if dangling_list:
                dp = dangling_list[0]
            else:
                dp = 0

            # 因所需的减速器只能有两个参数。,而我们家
            # 必要传3个参数(多了独一一切悬挂网页公关的总额积和,即,DP),因而用它
            # 下面的lambda表达式用于实现该目标。
            # NexPr是独一列表。,元素为:(页名),计算所得公关的总额)
            new_pr = (, self.pr_mapper, lambda x, y: self.pr_reducer_inter(x, y, DP)

            # 计算刚过去的车轮的PR值的变化。
            change = 求和([ABS(NexPr[i])〔1〕 - [new_pr[i][0]][0]) for i in range()])
            蜡纸油印机(更改 " + STR(变化)

            # 更新公关总额
            for i in range():
                [new_pr[i][0]][0] = new_pr[i][1]
            iteration += 1
        return 

最后的一参加是测试参加。,我用Python的有向图来创建有向图。,并调用下面的办法来PR值的计算:

if __name__ == ''__main__'':
    dg = digraph()

    [(a)], "B", "C", "D", "E"])

    ((a), "B"))
    ((a), "C"))
    ((a), "D"))
    (("B", "D"))
    (("C", "E"))
    (("D", "E"))
    (("B", "E"))
    (("E", A

    pr = PRMapReduce(dg)
    page_ranks = ()

    蜡纸油印机( final page rank 是
    for key, value in page_ranks.items():
        print(钥匙 + " : ", 值〔0〕

附加操作终于:

Iteration: 44
Change: 1.275194338951069e-05
Iteration: 45
Change: 1.0046004543212694e-05
Iteration: 46
Change: 7.15337406470562e-06
The final page rank is
E :  0.3133376132128915
C :  0.11396289866948645
B :  0.11396289866948645
A :  0.2963400114149353
D :  0.1623965780332006

在上文中便是PageRank的MapReduce实现。代码做成某事注释更详细。,这必需做的事很容易理解。。


这是独一天才算法。,规律复杂,效果却令人惊叹。。然而,在PageRank算法中仍然在少量地缺陷。。

第一,站导航链路私下缺少区别。。很多的网站有很多交链到宁静网页在他们的主页上。,称为交链导航交链。这些交链与差额网站私下的交链停止比较。,当和者更能传递传递相干。。

秒,缺少过滤交链和功能交链被过滤。(比如,共同分享微博)。。这些交链通常缺少什么实用总额。,前者交链到广告呼叫。,后者经常交链到社交网站的主页。。

第三,对新网页不友好。独一新的网页的总入口链绝对较小。,即使它的内容是高群众的的。,它仍然必要很长的时间才能译成独一高PR值呼叫。。

针对PageRank算法的不足,有人建议。TrustRank算法。它最初来自斯坦福大学校舍和雅虎的联合结论。,用于检测垃圾网站。TrestRANK算法的工作规律:率先,人工操作识别高群众的呼叫(即种子页)。,由种子页引导的呼叫也可以是独一高群众的的呼叫。,即,它的Tr值也很高。,交链从种子呼叫越远。,呼叫的TR值越低。。种子页可以选择更多交链的呼叫。,可选地,具有较高PR值的网站也是可用的。。

TrestRANK算法给出了每个网页的TR值。。将PR值与TR值相结合。,你可以更正确地判断网页的真髓。。


7. 写在最后的

谷歌应用PR值对网页停止类别。,有0~10级,普通4或在上文中是好主页。。谷歌自己的公关等这样9。,百度也是9。,博客园公关的总额则为6。

如今,公关总额已经不像以前这么要紧了。、广告交链和功能交链导致公关本身的总额,对新网页不友好。,但PR仍然是交通交易中非常要紧的参考因素。。

最后的,有独一图形网站,为PageRank提供动态图表。:点我。

最近,博客花园对标记语法的支持率不高。。结果表达不完整,,你可以在这里看到。。

参考资料

1:这是搜索引擎。:核技术详解,张俊林

2:PageRank落地于那一年的论文:The PageRank Citation Ranking: Bringing Order to the Web

3:维基百科PageRank

4:PageRank算法简介及Map-Reduce实现

5:博客谷歌背后的数学,陆长海

6背后的数学:博客PageRank

7:PageRank算法

8:MapReduce规律与设计思惟

9:应用 MapReduce to compute PageRank

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