PageRank算法–从原理到实现 – 刀刀流

0

本文将绍介PageRank算法的有关主题。,详细如次:

1。算法源
2。算法规律
三。算法公开宣称
估计成本计算方法
幂迭代法
固有值法
代数法
5.算法实现
由于迭代法的简略实现
5.2 MapReduce实现
算法的错误
7。写完
参考资料


1. 算法源

这麝香从搜索引擎的开展开端。。最早运用的搜索引擎是 类别目录[^ref_1] 的方法,执意说,手工操作类别网页和有组织的高素养网站。。在那时 Yahoo 和国际的 hao123 这执意它被运用的方法。。

后头,越来越多的网页。,手工类别是不现实的。。搜索引擎在。 译本检索 的所需时间,执意说,计算用户查询关键词和Web CONE中间的相关性。。这种方法打破了大批的限度局限。,即使搜索产生责怪大好。。由于不断地颇网页来回地骨碌少数用键盘输出。。

因而朕的铅将战胜适于上演。。没错,谷歌的两位创始人,当初,斯坦福大学人员。 (斯坦福大学人员) 大学人员) 认为方法生的年史 (拉里 页) 布林 (克里维茨 布林) 对网页资料排架的认为方法开端。。他们运用学术评价的普通方法对ACA的骄傲停止了讨论。, 那执意看报纸被援用多少次。。从这事角度风景,网页的骄傲也可以被评价为ACC。。故PageRank的鼓励思惟是[^ RefI2]的开始在。,这很简略:

  • 限制网页被诸多其他的网页用环连接,这事年史就更要紧了。,执意说,PageRank值将对立较高。
  • 限制具有高PageRank值的网页用环连接到另一个人网页,用环连接的网页的PageRank值将类似补充命运注定

如次图所示(主意图)

主意图


2. 算法规律

PageRank算法[^ref_3]通常执意提前给每个网页一个人PR值(下面用PR值提及PageRank值),由于PR值是身体检查意思上的,网页是AC的概率。,因而普通来说 \frac{1}{N} $,n这是一个人网页总额。。此外,普通环境下,持有违禁物网页上公关的估计成本积和为1。。限制责怪1,那责怪不行能的的。,最大的,差别网页中间的pr值中间的相干是STI。,它不克不及立即告发概率。。

预垂直的PR值后,,迭代经过下面的算法,直到区域平坦散布。。

因特网上的诸多网页可重要有向图。。下面是一个人简略的事例[^ RefMy4]:

sample1

此刻,A的pr值可以表现为:

\[ PR(a) = PR(b) + PR(C) \]

除非C此外,,B和D有超过项目链。,故,上述的客套话是不正确的。。呈现用户现时阅读B网页。,故,下一步他翻开对开的或D页是统计上相等地的概率。。故,A公关的估计成本麝香表现为:

\[ PR(a) = \frac{PR(b)}{2} + \frac{PR(C)}{1} \]

有些网页在互联网网状物上不在。,如次图:

sample1

图击中要害C页不注意外链。,无PR值对其他的网页的奉献,朕厌恶这事无私的网页。 Markov 链收敛,故,它为持有违禁物网页开发了一个人链,包罗它自己。,图击中要害a的pr值可以表现为:

\[ PR(a) = \frac{PR(b)}{2} + \frac{PR(C)}{4} \]

即使让朕思索另类的环境。:互联网网状物上的网页仅它自己的链条。,或几页的链方式一个人附近。。在延续迭代折术中,这对开的或更多页的pr值只会补充命运注定。,显然是不合适的。。像,下面的图片击中要害C页合理的J的网页。:

sample3

为了处理这事问题。朕设想一个人恣意的网状物阅读器。,当他抵达C网页时,显然责怪糊涂的地被C的小孩困住了。。朕呈现他有必然的可能性,他将进入网状物地址。,跳到每个网页的概率是相等地的。。终于图击中要害a的pr值可以表现为:

\[ PR(a) = \alpha(\frac{PR(b)}{2}) + \frac{(1 – \alpha)}{4}\]

在普通环境下,网页的pr值按如次计算:

\[ PR(p_{i}) = \alpha \sum_{p_{j} \in M_{p_{i}}} \frac{PR(p_{j})}{L(p_{j})} + \frac{(1 – \alpha)}{N} \]

里面的\(M_{p_{i}}\)是持有违禁物对\(p_{i}\)带链的网页,\(L(p_{j})\)这是一个人网页\(p_{j}\)输出链数,\(N\)这是一个人网页总额,\(\alpha\)普通采用。
依下面的客套话,朕可以计算每个网页公关的估计成本。,当迭代波动摇动时,这执意终极产生。。详细来说,方法波动。,朕在下面的PR估计成本计算方法命运注定改造解说。


3. 算法公开宣称

  • $ \lim_{n 姓 \infty}P_{n} 它在吗?
  • 限制在限度,可能的选择与\(P_0\)选择有关吗?

PageRank算法的合法性包罗从一边至另一边两点[^。为附近的起见,让朕先使不适PR值的计算方法。。

言传身教。

sample3

朕可以用矩阵来表现链和柴中间的相干。,\(S_{ij} = 0\)表现\(j\)不注意年史。\(i\)网状物兔子洞链:

\[ S =
\left(
\begin{array}{cccc}
0 & 1/2 & 0 & 0 \\
1/3 & 0 & 0 & 1/2 \\
1/3 & 0 & 1 & 1/2 \\
1/3 & 1/2 & 0 & 0 \\
\end{array}
右)
\]

\(e\)属于持有违禁物子群 1 的列矢量,后来地精确地解释矩阵。:

\[ A = \alpha S + \frac{(1 – \alpha)}{N}ee^T \]

PR值按如次计算,里面的\(P_{n}\)由N个迭代击中要害每个年史公关的估计成本结合的列矢量。:

\[ P_{n+1} = A P_{n} \]

故,PR值的计算适宜一个人折术。 Markov 折术,后来地将PageRank算法的公开宣称转变为公开宣称。 Markov 折术收敛性公开宣称:限制这事 Markov 折术收敛,这么$ \lim_{n 姓 \infty}P_{n} (在),与P00$的选择与它有关。。

限制A Markov 折术收敛,后来地它的规定转变矩阵(A)必要满足的[^ Ref6]:

  1. A是一个人随机矩阵。。
  2. A是不行约的。。
  3. A怀疑周期性的。。

先看第短时间。,随机矩阵也称为概率矩阵。 Markov 矩阵,满足的拥护者限制:

\[
A.中矩阵I的线J元素A{{ij},则
\forall i = 1 \dots n, j = 1 \dots n, a_{ij} \geq 0, 且
\forall i = 1 \dots n, \sum_{j = 1}^n a_{ij} = 1
\]

显然,朕A矩阵的持有违禁物元素都大于或数量0。,每个列有1个元素。。

另外的点,不行约矩阵:方针A是不行约的。当且仅当与A对应的有向图是强联通的。有向图\(G = (V,E)\)它是强连通的,且仅属于每对填料。\(u,v \in V\),在从\(u\)\(v\)的途径。由于朕在屯积设定用户在阅读年史的时分有决定概率经过输出网址的方法面试一个人随机网页,故,A矩阵也满足的不行约的声称。。

第三点,声称A怀疑周期性的。。相同周期性,告发在马尔柯夫链的周期性。。限制A是周期性的。,后来地,马尔柯夫链的规定是周期性的。。由于A是素矩阵(素矩阵指纯净的的某个次幂为正矩阵的矩阵),因而A怀疑周期性的。。

到这地步,公开宣称了PageRank算法的合法性。。


4. PR估计成本计算方法

幂迭代法

率先,为每个年史分派一个人随机PR值。,后来地经过 P_{n+1} = A P_{n} 迭代迭代PR值。当满足的以下掣肘的事情时,迭代完毕。,获取持有违禁物年史公关的估计成本:

\[ |P_{n+1} – P_{n}| < \epsilon \]

固有值法

当上述的马尔柯夫链收敛时,,必有:

\[
P = A P 姓 P是对应于矩阵1的固有值的特征矢量。 \\
(随机矩阵必需具有固有值1)。,本征矢量的持有违禁物加重于均为正或负。
\]

代数法

类似于的,当上述的马尔柯夫链收敛时,,必有:

\[
P = A P \\
姓 P = \lgroup \alpha S + \frac{(1 – \alpha)}{N}ee^T \rgroup P \\
由于 e属于持有违禁物子群 1 的列矢量,P的持有违禁物身分积和为1。 \\
姓 P = \alpha SP + \frac{(1 – \alpha)}{N}e \\
姓 (ee^T – \alpha S)P = \frac{(1 – \alpha)}{N}e \\
姓 P = (ee^T – \alpha S)^{-1} \frac{(1 – \alpha)}{N}e \\
\]


5. 算法实现

由于迭代法的简略实现

用python实现[^ref_7],你必要先垂直的Python图形鼓励。。

# -*- coding: utf-8 -*-

from pygraph.classes.digraph import digraph


class PRIterator:
    __doc__ = 计算图片中公关的估计成本。

    def __init__(self, DG)
         =   # 沉闷的系数,即α
         = 100  # 最大迭代次数
        self.min_delta = 0001  # 决定迭代可能的选择完毕。,即ϵ
         = dg

    def page_rank(self):
        #  率先,在图中不注意链的填料被使不适为具有链F。
        for node in .nodes():
            if LeN((填料)) == 0:
                for node2 in .nodes():
                    (, (填料), node2))

        nodes = .nodes()
        graph_size = len(填料)s)

        if graph_size == 0:
            return {}
        page_rank = (填料)s, 1.0 / graph_size)  # 将初始PR值分派给每个填料。
        damping_value = (1.0 - ) / graph_size  # 客套话的(1*a)/n命运注定

        flag = False
        for i in range():
            change = 0
            for node in nodes:
                rank = 0
                for incident_page in .incidents(填料)):  # 遍历持有违禁物输出年史
                    rank +=  * (page_rank[incident_page] / len((incident_page)))
                rank += damping_value
                change += ABS(PaGeQueRange[填料] - 技巧水平)  # 模数
                page_rank[填料] = rank

            用脚踩踏(这事 is NO.%s iteration" % (i + 1))
            print(page_技巧水平)

            if change < self.min_delta:
                flag = True
                break
        if flag:
            print("finished in %s iterations!" % node)
        else:
            print("finished out of 100 iterations!")
        return page_rank


if __name__ == ''__main__'':
    dg = digraph()

    [(a)], "B", "C", "D", "E"])

    ((a), "B"))
    ((a), "C"))
    ((a), "D"))
    (("B", "D"))
    (("C", "E"))
    (("D", "E"))
    (("B", "E"))
    (("E", A

    pr = PRIterator(dg)
    page_ranks = ()

    用脚踩踏( final page rank is\n", page_ranks)

运行产生:

finished in 36 iterations!
The final page rank is
{A , ''C'': , ''B'': , ''E'': , ''D'': }

程序中给出的网页中间的相干从:

begin

迭代的完毕如次:

end

5.2 MapReduce实现

作为Hadoop(散布式系统平台)的鼓励模块之一,MapReduce是一种高效的散布式计算框架。。让朕从MapReduce规律的简略绍介开端。。

相同的MapReduce,有两个操作。:Mapping和Reducing[^ref_8]。

  • 映射(映射):对集合击中要害每个目标应用相等地的操作。。
  • 简化(约简) ):遍历返回的映射中返回的元素以返回一个人综合。

举个典型事例。:现时有3个译本文件。,有必要计算持有违禁物有吸引力的单词的词频。。传统的想法是让一个人人顺序阅读这3个文件,每遇到一个人字,看看你以前可能的选择见过面。。词频加上遇到的一个人。:(词语),N + 1),否则,新单词将被记录下来。,词频一:(词语),1)。

MapReduce方法是:把这3份文件分成3个人。,每个人都阅读文档。。每当我遇到一个人字,把这事单词记下来。:(词语),1)(无论你以前可能的选择遇到过这事词),执意说,可能有多个相等地的词。。之后,将发送另一个人人来添加相等地的单词。,终极的产生可以得到。。

词频统计的详细实现可见点我。

下面是运用MapReduce实现PageRank的详细代码[^ref_9]。率先是通用地图和还原模块。。限制你觉得很难理解,可以先看看词频统计的实现代码,下面的模块也被运用。:

class MapReduce:
    __doc__ = ''提供MaPixRead函数''。

    @staticmethod
    def map_reduce(i, mapper, 减速机)
        """
        map_reduce方法
        :param i: 必要一个人MapReduce的集合。
        :param mapper: 自精确地解释映射器方法
        :param reducer: 定制减速器法
        :return: 以定制减速器法的返回值为元素的一个人列表
        """
        intermediate = []  # 存储持有违禁物(中间的)密钥, intermediate_估计成本)
        for (钥匙, 估计成本) in i.items():
            (mapper(钥匙, 估计成本))

        # 排序返回一个人有序的列表。,由于列表击中要害元素是元组。,密钥是依元组击中要害前几个元素来设置的。
        # GROPBY提取迭代器击中要害相邻重复元素,并将T,密钥依前几项设置重复元素的选择。
        # 下面的循环中groupby返回的key是intermediate_key,和组是列表。,它是1个或更多。
        # 有着相等地intermediate_key的(intermediate_key, intermediate_估计成本)
        groups = {}
        for key, group in itertools.groupby(sorted(intermediate, key=lambda im: IM〔0〕, key=lambda x: x[0]):
            组[键] = [y for x, y in 组
        # 群组是一本字典。,它的关键是下面提到的中间体。,value为持有违禁物对应intermediate_key的intermediate_value
        # 子群列表
        return [reducer(intermediate_key, groups[intermediate_key]) for intermediate_key in 组

接下来是PR值的计算的类。,里面的实现了用于PR值的计算的mapper和reducer:

class PRMapReduce:
    __doc__ = PR值的计算

    def __init__(self, DG)
         =   # 沉闷的系数,即α
         = 100  # 最大迭代次数
        self.min_delta = 0001  # 决定迭代可能的选择完毕。,即ϵ
         = len(())  # 网页总额

        # 图代表整个网状物图。。是字典类型。
        # graph[i][0] 存储年史公关的估计成本
        # graph[i][1] 存放第i网状物兔子洞链大批
        # graph[i][2] 存放第i网状物兔子洞链网页,这是一张单子。
         = {}
        for node in ():
            [填料] = [1.0 / , LeN((填料)), (填料))]

    def ip_mapper(self, input_key, input_估计成本):
        """
        查看网页可能的选择有链。,返回值击中要害 1 不注意身体检查意思。,合理的为了在
        MpjRoad击中要害组字典的密钥仅为1。,类似的值都是挂起的网页。
        公关的估计成本
        :param input_key: 网页名,如 A
        :param input_value: [input_key]
        :return: 限制不注意兔子洞链,挂网页,后来地回到[(1),这事网页公关的估计成本)];否则,它将返回。
        """
        if input_value[1] == 0:
            return [(1, input_值〔0〕]
        else:
            return []

    def ip_reducer(self, input_key, input_value_list):
        """
        计算持有违禁物悬挂网页公关的估计成本积和
        :param input_key: 依IPML映射器的返回值,这事输出键是:1
        :param input_value_list: 持有违禁物悬挂网页公关的估计成本
        :return: 持有违禁物悬挂网页公关的估计成本积和
        """
        return sum(input_value_list)

    def pr_mapper(self, input_key, input_估计成本):
        """
        映射法
        :param input_key: 网页名,如 A
        :param input_value: [input_key],执意说,这事网页上的相关信息。
        :return: [网页名称], ), (外链第1页), 出链网页1分得公关的估计成本), (外链第2页), 出链网页2分得公关的估计成本)...]
        """
        return [(input_key, )] + [(out_link, input_value[0] / input_value[1]) for out_link in input_value[2]]

    def pr_reducer_inter(self, intermediate_key, intermediate_value_list, DP)
        """
        还原法
        :param intermediate_key: 网页名,如 A
        :param intermediate_value_list: A持有违禁物分得公关的估计成本的列表:[,分得公关的估计成本,分得公关的估计成本...]
        :param dp: 持有违禁物悬挂网页公关的估计成本积和
        :return: (页名),计算所得公关的估计成本)
        """
        return (intermediate_key,
                 * sum(intermediate_value_list) +
                 * dp /  +
                (1.0 - ) / )

    def page_rank(self):
        """
        PR值的计算,每次迭代都必要两次调用MapReduce。。一次是计算悬挂网页PR值积和,一次
        是计算持有违禁物网页公关的估计成本
        :return: ,里面的公关的估计成本已经计算好
        """
        iteration = 1  # 迭代次数
        change = 1  # 记录每轮迭代后公关的估计成本变化环境,初始值为1,确保至少一次迭代。
        while change > self.min_delta:
            用脚踩踏(迭代 " + STR(迭代)

            # 由于可能有网页挂起。,这执意为什么朕有以下的DangLink列表。
            # dangling_list存放的是[持有违禁物悬挂网页公关的估计成本积和]
            # dp表现持有违禁物悬挂网页公关的估计成本积和
            dangling_list = (, self.ip_mapper, self.ip_reducer)
            if dangling_list:
                dp = dangling_list[0]
            else:
                dp = 0

            # 由于所需的减速器只能有两个参数。,而朕
            # 必要传3个参数(多了一个人持有违禁物悬挂网页公关的估计成本积和,执意说,DP),因而用它
            # 下面的lambda表达式用于实现该目标。
            # NexPr是一个人列表。,元素为:(页名),计算所得公关的估计成本)
            new_pr = (, self.pr_mapper, lambda x, y: self.pr_reducer_inter(x, y, DP)

            # 计算这事车轮的PR值的变化。
            change = 求和([ABS(NexPr[i])〔1〕 - [new_pr[i][0]][0]) for i in range()])
            用脚踩踏(更改 " + STR(变化)

            # 更新公关估计成本
            for i in range():
                [new_pr[i][0]][0] = new_pr[i][1]
            iteration += 1
        return 

最大的一命运注定是测试命运注定。,我用Python的有向图来创建有向图。,并调用下面的方法来PR值的计算:

if __name__ == ''__main__'':
    dg = digraph()

    [(a)], "B", "C", "D", "E"])

    ((a), "B"))
    ((a), "C"))
    ((a), "D"))
    (("B", "D"))
    (("C", "E"))
    (("D", "E"))
    (("B", "E"))
    (("E", A

    pr = PRMapReduce(dg)
    page_ranks = ()

    用脚踩踏( final page rank 是
    for key, value in page_ranks.items():
        print(钥匙 + " : ", 值〔0〕

附加操作产生:

Iteration: 44
Change: 1.275194338951069e-05
Iteration: 45
Change: 1.0046004543212694e-05
Iteration: 46
Change: 7.15337406470562e-06
The final page rank is
E :  0.3133376132128915
C :  0.11396289866948645
B :  0.11396289866948645
A :  0.2963400114149353
D :  0.1623965780332006

从一边至另一边便是PageRank的MapReduce实现。代码击中要害注释更详细。,这麝香很容易理解。。


这是一个人天才算法。,规律简略,效果却令人惊叹。。然而,在PageRank算法中仍然在少数缺陷。。

第一,站导航链路中间不注意区别。。诸多网站有很多用环连接到其他的网页在他们的主页上。,称为用环连接导航用环连接。这些用环连接与差别网站中间的用环连接停止比较。,当后来地者更能传递传递相干。。

另外的,不注意过滤用环连接和功能用环连接被过滤。(像,共同分享微博)。。这些用环连接通常不注意什么实用估计成本。,前者用环连接到广告年史。,后者经常用环连接到社交网站的主页。。

第三,对新网页不友好。一个人新的网页的总入口链对立较小。,即使它的内容是高素养的。,它仍然必要很长的时间才能适宜一个人高PR值年史。。

针对PageRank算法的不足,有人建议。TrustRank算法。它最初来自斯坦福大学人员和雅虎的联合认为方法。,用于检测垃圾网站。TrestRANK算法的工作规律:率先,手工操作识别高素养年史(即种子页)。,由种子页引导的年史也可以是一个人高素养的年史。,执意说,它的Tr值也很高。,用环连接从种子年史越远。,年史的TR值越低。。种子页可以选择更多用环连接的年史。,可选地,具有较高PR值的网站也是可用的。。

TrestRANK算法给出了每个网页的TR值。。将PR值与TR值相结合。,你可以更正确地判断网页的骄傲。。


7. 写在最大的

谷歌运用PR值对网页停止类别。,有0~10级,普通4或从一边至另一边是好主页。。谷歌自己的公关估计成本是9。,百度也是9。,博客园公关的估计成本则为6。

如今,公关估计成本已经不像以前这么要紧了。、广告用环连接和功能用环连接导致公关本身的估计成本,对新网页不友好。,但PR仍然是交通交易中非常要紧的参考因素。。

最大的,有一个人图形网站,为PageRank提供动态图表。:点我。

最近,博客花园对标记语法的支持率不高。。限制客套话不完整,,你可以在这里看到。。

参考资料

1:这是搜索引擎。:鼓励技术详解,张俊林

2:PageRank开始在于那一年的论文:The PageRank Citation Ranking: Bringing Order to the Web

3:维基百科PageRank

4:PageRank算法简介及Map-Reduce实现

5:博客谷歌背后的数学,陆长海

6背后的数学:博客PageRank

7:PageRank算法

8:MapReduce规律与设计思惟

9:运用 MapReduce to compute PageRank

LEAVE A REPLY