PageRank算法–从原理到实现 – 刀刀流

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本文将引见PageRank算法的有关主题。,详细列举如下:

1。算法源
2。算法规律
三。算法证实
牺牲计算方法
幂迭代法
特征数法
代数法
5.算法实现
由于迭代法的复杂实现
5.2 MapReduce实现
算法的缺陷
7。写完
参考资料


1. 算法源

这葡萄汁从搜索引擎的开展开端。。最早应用的搜索引擎是 分级目录[^ref_1] 的方法,即,手工生产分级网页和一套高大多网站。。既然 Yahoo 和国际的 hao123 这执意它被应用的方法。。

后头,越来越多的网页。,手工分级是不现实的。。搜索引擎在。 发短信检索 的所需时间,即,计算用户查询保留字和Web CONE暗说话中肯相关性。。这种方法溃了数的限度局限。,话虽这样说搜索奏效责备晴朗的。。由于常常少量网页往复地骨碌有些人用键盘输出。。

因而人们的引导将攀登筹划。。没错,谷歌的两位创始人,当初,斯坦福学院。 (斯坦福学院) 学院) 讨论生的翻书页 (拉里 页) 布林 (克里维茨 布林) 对网页整理的讨论开端。。他们运用学术评价的普通方法对ACA的显著举行了讨论。, 那执意看报纸被援用多少次。。从这么角度看法,网页的显著也可以被评价为ACC。。去PageRank的玉蜀黍发育不良的穗思惟是[^ RefI2]的开始在。,这很复杂:

  • 免得网页被数量庞大的数量庞大的宁静网页联系在一起,这么翻书页就更要紧了。,即,PageRank值将对立较高。
  • 免得具有高PageRank值的网页联系在一起到另一任一某一网页,联系在一起的网页的PageRank值将中肯的养育

列举如下图所示(总的印象图)

总的印象图


2. 算法规律

PageRank算法[^ref_3]总之执意在前锋位置给每个网页一任一某一PR值(下面用PR值介绍人PageRank值),由于PR值是自然的意思上的,网页是AC的概率。,因而普通来说 \frac{1}{N} $,n这是一任一某一网页总额。。那个,普通养护下,各种的网页上公关的牺牲积和为1。。免得责备1,那责备不成能的事的。,首要的,不同的网页暗说话中肯pr值暗说话中肯相干是STI。,它不克不及最接近的反应能力概率。。

预安定PR值后,,迭代经过下面的算法,直到管辖的范围变平和散布。。

因特网上的数量庞大的数量庞大的网页可凝视有向图。。下面是一任一某一复杂的建议[^ RefMy4]:

sample1

此刻,A的pr值可以表现为:

\[ PR(a) = PR(b) + PR(C) \]

要不是C此外,,B和D有领先项目链。,去,上述的分子式是不正确的。。补助金用户现时阅读B网页。,去,下一步他翻开页码或张数或D页是统计资料上同卵的的概率。。去,A公关的牺牲葡萄汁表现为:

\[ PR(a) = \frac{PR(b)}{2} + \frac{PR(C)}{1} \]

有些网页在互联网体系上不在。,列举如下图:

sample1

图说话中肯C页缺乏外链。,无PR值对宁静网页的奉献,人们讨厌这么自私自利的网页。 Markov 链收敛,去,它为各种的网页引起了一任一某一链,包含它自己。,图说话中肯a的pr值可以表现为:

\[ PR(a) = \frac{PR(b)}{2} + \frac{PR(C)}{4} \]

话虽这样说让人们思索替代的养护。:互联网体系上的网页独自的它自己的连锁。,或几页的链不动产权一任一某一回响。。在延续迭代工艺流程中,这页码或张数或更多页的pr值只会养育。,显然是荒谬的的。。像,下面的图片说话中肯C页朴素地J的网页。:

sample3

为了处理这么问题。人们设想一任一某一恣意的体系阅读器。,当他抵达C网页时,显然责备婴儿时期地被C的孩子困住了。。人们补助金他有必然的可能性,他将进入体系地址。,跳到每个网页的概率是公正地的。。随即图说话中肯a的pr值可以表现为:

\[ PR(a) = \alpha(\frac{PR(b)}{2}) + \frac{(1 – \alpha)}{4}\]

在普通养护下,网页的pr值按列举如下计算:

\[ PR(p_{i}) = \alpha \sum_{p_{j} \in M_{p_{i}}} \frac{PR(p_{j})}{L(p_{j})} + \frac{(1 – \alpha)}{N} \]

流行的\(M_{p_{i}}\)是各种的对\(p_{i}\)带链的网页,\(L(p_{j})\)这是一任一某一网页\(p_{j}\)输出物链数,\(N\)这是一任一某一网页总额,\(\alpha\)普通采用。
范围下面的分子式,人们可以计算每个网页公关的牺牲。,当迭代不变开动时,这执意终极奏效。。详细来说,多少不变。,人们在下面的PR牺牲计算方法嫁妆改装解说。


3. 算法证实

  • $ \lim_{n 姓 \infty}P_{n} 它在吗?
  • 免得在限定,即使与\(P_0\)选择无干吗?

PageRank算法的正确包含在上文中两点[^。为便利起见,让人们先改动PR值的计算方法。。

言传身教。

sample3

人们可以用矩阵来表现链和柴暗说话中肯相干。,\(S_{ij} = 0\)表现\(j\)缺乏翻书页。\(i\)体系输出物链:

\[ S =
\left(
\begin{array}{cccc}
0 & 1/2 & 0 & 0 \\
1/3 & 0 & 0 & 1/2 \\
1/3 & 0 & 1 & 1/2 \\
1/3 & 1/2 & 0 & 0 \\
\end{array}
右)
\]

\(e\)朝着各种的装配 1 的列矢径,这么清晰度矩阵。:

\[ A = \alpha S + \frac{(1 – \alpha)}{N}ee^T \]

PR值按列举如下计算,流行的\(P_{n}\)由N个迭代说话中肯每个翻书页公关的牺牲结合的列矢径。:

\[ P_{n+1} = A P_{n} \]

去,PR值的计算相称一任一某一工艺流程。 Markov 工艺流程,这么将PageRank算法的证实转变为证实。 Markov 工艺流程收敛性证实:免得这么 Markov 工艺流程收敛,这么$ \lim_{n 姓 \infty}P_{n} (在),与P00$的选择与它无干。。

免得A Markov 工艺流程收敛,这么它的不动产权转变矩阵(A)需求目录[^ Ref6]:

  1. A是一任一某一随机矩阵。。
  2. A是不成约的。。
  3. A角镞箭周期性的。。

先看第短距离。,随机矩阵也称为概率矩阵。 Markov 矩阵,目录拥护者术语:

\[
A.中矩阵I的线J元素A{{ij},则
\forall i = 1 \dots n, j = 1 \dots n, a_{ij} \geq 0, 且
\forall i = 1 \dots n, \sum_{j = 1}^n a_{ij} = 1
\]

显然,人们A矩阵的各种的元素都大于或全部效果0。,每个列有1个元素。。

居第二位的点,不成约矩阵:方针A是不成约的。当且仅当与A对应的有向图是强联通的。有向图\(G = (V,E)\)它是强连通的,且仅朝着每对杂种的。\(u,v \in V\),在从\(u\)\(v\)的手段和财力。由于人们在先于设定用户在阅读翻书页的时辰有决定概率经过输出网址的方法探望一任一某一随机网页,去,A矩阵也目录不成约的断言。。

第三点,断言A角镞箭周期性的。。相同周期性,反应能力在马尔柯夫链的周期性。。免得A是周期性的。,这么,马尔柯夫链的不动产权是周期性的。。由于A是素矩阵(素矩阵指本身的某个次幂为正矩阵的矩阵),因而A角镞箭周期性的。。

来这里,证实了PageRank算法的正确。。


4. PR牺牲计算方法

幂迭代法

率先,为每个翻书页分派一任一某一随机PR值。,这么经过 P_{n+1} = A P_{n} 迭代迭代PR值。当目录以下不平等时,迭代完毕。,获取各种的翻书页公关的牺牲:

\[ |P_{n+1} – P_{n}| < \epsilon \]

特征数法

当上述的马尔柯夫链收敛时,,必有:

\[
P = A P 姓 P是对应于矩阵1的特征数的特征矢径。 \\
(随机矩阵必需品具有特征数1)。,本征矢径的各种的身分的均为正或负。
\]

代数法

类似性的,当上述的马尔柯夫链收敛时,,必有:

\[
P = A P \\
姓 P = \lgroup \alpha S + \frac{(1 – \alpha)}{N}ee^T \rgroup P \\
由于 e朝着各种的装配 1 的列矢径,P的各种的身分积和为1。 \\
姓 P = \alpha SP + \frac{(1 – \alpha)}{N}e \\
姓 (ee^T – \alpha S)P = \frac{(1 – \alpha)}{N}e \\
姓 P = (ee^T – \alpha S)^{-1} \frac{(1 – \alpha)}{N}e \\
\]


5. 算法实现

由于迭代法的复杂实现

用python实现[^ref_7],你需求先安定Python图形玉蜀黍发育不良的穗。。

# -*- coding: utf-8 -*-

from pygraph.classes.digraph import digraph


class PRIterator:
    __doc__ = 计算图片中公关的牺牲。

    def __init__(self, DG)
         =   # 使沮丧系数,即α
         = 100  # 最大迭代次数
        self.min_delta = 0001  # 决定迭代即使完毕。,即ϵ
         = dg

    def page_rank(self):
        #  率先,在图中缺乏链的杂种的被改动为具有链F。
        for node in .nodes():
            if LeN((杂种的)) == 0:
                for node2 in .nodes():
                    (, (杂种的), node2))

        nodes = .nodes()
        graph_size = len(杂种的)s)

        if graph_size == 0:
            return {}
        page_rank = (杂种的)s, 1.0 / graph_size)  # 将初始PR值分派给每个杂种的。
        damping_value = (1.0 - ) / graph_size  # 分子式的(1*a)/n嫁妆

        flag = False
        for i in range():
            change = 0
            for node in nodes:
                rank = 0
                for incident_page in .incidents(杂种的)):  # 遍历各种的输出翻书页
                    rank +=  * (page_rank[incident_page] / len((incident_page)))
                rank += damping_value
                change += ABS(PaGeQueRange[杂种的] - 高于)  # 不受任何限制的
                page_rank[杂种的] = rank

            邮票(这么 is NO.%s iteration" % (i + 1))
            print(page_高于)

            if change < self.min_delta:
                flag = True
                break
        if flag:
            print("finished in %s iterations!" % node)
        else:
            print("finished out of 100 iterations!")
        return page_rank


if __name__ == ''__main__'':
    dg = digraph()

    [(a)], "B", "C", "D", "E"])

    ((a), "B"))
    ((a), "C"))
    ((a), "D"))
    (("B", "D"))
    (("C", "E"))
    (("D", "E"))
    (("B", "E"))
    (("E", A

    pr = PRIterator(dg)
    page_ranks = ()

    邮票( final page rank is\n", page_ranks)

运行奏效:

finished in 36 iterations!
The final page rank is
{A , ''C'': , ''B'': , ''E'': , ''D'': }

程序中给出的网页暗说话中肯相干从:

begin

迭代的完毕列举如下:

end

5.2 MapReduce实现

作为Hadoop(散布式系统平台)的玉蜀黍发育不良的穗模块之一,MapReduce是一种高效的散布式计算框架。。让人们从MapReduce规律的复杂引见开端。。

相同的MapReduce,有两个操作。:Mapping和Reducing[^ref_8]。

  • 映射(映射):对集合说话中肯每个目标应用同卵的的操作。。
  • 简化(约简) ):遍历返回的映射中返回的元素以返回一任一某一综合。

举个典型建议。:现时有3个发短信文件。,有必要计算各种的有吸引力的单词的词频。。传统的想法是让一任一某一人顺序阅读这3个文件,每遇到一任一某一字,看看你以前即使见过面。。词频加上遇到的一任一某一。:(词语),N + 1),否则,新单词将被记录下来。,词频一:(词语),1)。

MapReduce方法是:把这3份文件分成3个人。,每个人都阅读文档。。每当我遇到一任一某一字,把这么单词记下来。:(词语),1)(无论你以前即使遇到过这么词),即,可能有多个同卵的的词。。之后,将发送另一任一某一人来添加同卵的的单词。,终极的奏效可以得到。。

词频统计的详细实现可见点我。

下面是应用MapReduce实现PageRank的详细代码[^ref_9]。率先是通用地图和还原模块。。免得你觉得很难理解,可以先看看词频统计的实现代码,下面的模块也被应用。:

class MapReduce:
    __doc__ = ''提供MaPixRead函数''。

    @staticmethod
    def map_reduce(i, mapper, 减速机)
        """
        map_reduce方法
        :param i: 需求一任一某一MapReduce的集合。
        :param mapper: 自清晰度映射器方法
        :param reducer: 定制减速器法
        :return: 以定制减速器法的返回值为元素的一任一某一列表
        """
        intermediate = []  # 存储各种的(中间的)密钥, intermediate_牺牲)
        for (钥匙, 牺牲) in i.items():
            (mapper(钥匙, 牺牲))

        # 排序返回一任一某一有序的列表。,由于列表说话中肯元素是元组。,密钥是范围元组说话中肯前几个元素来设置的。
        # GROPBY提取迭代器说话中肯相邻重复元素,并将T,密钥范围前几项设置重复元素的选择。
        # 下面的循环中groupby返回的key是intermediate_key,和组是列表。,它是1个或更多。
        # 有着同卵的intermediate_key的(intermediate_key, intermediate_牺牲)
        groups = {}
        for key, group in itertools.groupby(sorted(intermediate, key=lambda im: IM〔0〕, key=lambda x: x[0]):
            组[键] = [y for x, y in 组
        # 群组是一本字典。,它的关键是下面提到的中间体。,value为各种的对应intermediate_key的intermediate_value
        # 装配列表
        return [reducer(intermediate_key, groups[intermediate_key]) for intermediate_key in 组

接下来是PR值的计算的类。,流行的实现了用于PR值的计算的mapper和reducer:

class PRMapReduce:
    __doc__ = PR值的计算

    def __init__(self, DG)
         =   # 使沮丧系数,即α
         = 100  # 最大迭代次数
        self.min_delta = 0001  # 决定迭代即使完毕。,即ϵ
         = len(())  # 网页总额

        # 图代表整个体系图。。是字典类型。
        # graph[i][0] 存储翻书页公关的牺牲
        # graph[i][1] 存放第i体系输出物链数
        # graph[i][2] 存放第i体系输出物链网页,这是一张单子。
         = {}
        for node in ():
            [杂种的] = [1.0 / , LeN((杂种的)), (杂种的))]

    def ip_mapper(self, input_key, input_牺牲):
        """
        查看网页即使有链。,返回值说话中肯 1 缺乏自然的意思。,朴素地为了在
        MpjRoad说话中肯组字典的密钥仅为1。,中肯的的值都是挂起的网页。
        公关的牺牲
        :param input_key: 网页名,如 A
        :param input_value: [input_key]
        :return: 免得缺乏输出物链,挂网页,这么回到[(1),这么网页公关的牺牲)];否则,它将返回。
        """
        if input_value[1] == 0:
            return [(1, input_值〔0〕]
        else:
            return []

    def ip_reducer(self, input_key, input_value_list):
        """
        计算各种的悬挂网页公关的牺牲积和
        :param input_key: 范围IPML映射器的返回值,这么输出键是:1
        :param input_value_list: 各种的悬挂网页公关的牺牲
        :return: 各种的悬挂网页公关的牺牲积和
        """
        return sum(input_value_list)

    def pr_mapper(self, input_key, input_牺牲):
        """
        映射法
        :param input_key: 网页名,如 A
        :param input_value: [input_key],即,这么网页上的相关信息。
        :return: [网页名称], ), (外链第1页), 出链网页1分得公关的牺牲), (外链第2页), 出链网页2分得公关的牺牲)...]
        """
        return [(input_key, )] + [(out_link, input_value[0] / input_value[1]) for out_link in input_value[2]]

    def pr_reducer_inter(self, intermediate_key, intermediate_value_list, DP)
        """
        还原法
        :param intermediate_key: 网页名,如 A
        :param intermediate_value_list: A各种的分得公关的牺牲的列表:[,分得公关的牺牲,分得公关的牺牲...]
        :param dp: 各种的悬挂网页公关的牺牲积和
        :return: (页名),计算所得公关的牺牲)
        """
        return (intermediate_key,
                 * sum(intermediate_value_list) +
                 * dp /  +
                (1.0 - ) / )

    def page_rank(self):
        """
        PR值的计算,每次迭代都需求两次调用MapReduce。。一次是计算悬挂网页PR值积和,一次
        是计算各种的网页公关的牺牲
        :return: ,流行的公关的牺牲已经计算好
        """
        iteration = 1  # 迭代次数
        change = 1  # 记录每轮迭代后公关的牺牲变化养护,初始值为1,确保至少一次迭代。
        while change > self.min_delta:
            邮票(迭代 " + STR(迭代)

            # 由于可能有网页挂起。,这执意为什么人们有以下的DangLink列表。
            # dangling_list存放的是[各种的悬挂网页公关的牺牲积和]
            # dp表现各种的悬挂网页公关的牺牲积和
            dangling_list = (, self.ip_mapper, self.ip_reducer)
            if dangling_list:
                dp = dangling_list[0]
            else:
                dp = 0

            # 由于所需的减速器只能有两个参数。,而人们
            # 需求传3个参数(多了一任一某一各种的悬挂网页公关的牺牲积和,即,DP),因而用它
            # 下面的lambda表达式用于实现该目标。
            # NexPr是一任一某一列表。,元素为:(页名),计算所得公关的牺牲)
            new_pr = (, self.pr_mapper, lambda x, y: self.pr_reducer_inter(x, y, DP)

            # 计算这么车轮的PR值的变化。
            change = 求和([ABS(NexPr[i])〔1〕 - [new_pr[i][0]][0]) for i in range()])
            邮票(更改 " + STR(变化)

            # 更新公关牺牲
            for i in range():
                [new_pr[i][0]][0] = new_pr[i][1]
            iteration += 1
        return 

首要的一嫁妆是测试嫁妆。,我用Python的有向图来创建有向图。,并调用下面的方法来PR值的计算:

if __name__ == ''__main__'':
    dg = digraph()

    [(a)], "B", "C", "D", "E"])

    ((a), "B"))
    ((a), "C"))
    ((a), "D"))
    (("B", "D"))
    (("C", "E"))
    (("D", "E"))
    (("B", "E"))
    (("E", A

    pr = PRMapReduce(dg)
    page_ranks = ()

    邮票( final page rank 是
    for key, value in page_ranks.items():
        print(钥匙 + " : ", 值〔0〕

附加操作奏效:

Iteration: 44
Change: 1.275194338951069e-05
Iteration: 45
Change: 1.0046004543212694e-05
Iteration: 46
Change: 7.15337406470562e-06
The final page rank is
E :  0.3133376132128915
C :  0.11396289866948645
B :  0.11396289866948645
A :  0.2963400114149353
D :  0.1623965780332006

在上文中便是PageRank的MapReduce实现。代码说话中肯注释更详细。,这葡萄汁很容易理解。。


这是一任一某一天才算法。,规律复杂,效果却令人惊叹。。然而,在PageRank算法中仍然在有些人缺陷。。

第一,站导航链路暗中缺乏区别。。数量庞大的数量庞大的网站有很多联系在一起到宁静网页在他们的主页上。,称为联系在一起导航联系在一起。这些联系在一起与不同的网站暗说话中肯联系在一起举行比较。,当这么者更能传递传递相干。。

居第二位的,缺乏过滤联系在一起和功能联系在一起被过滤。(像,共同分享微博)。。这些联系在一起通常缺乏什么实用牺牲。,前者联系在一起到广告翻书页。,后者经常联系在一起到社交网站的主页。。

第三,对新网页不友好。一任一某一新的网页的总入口链对立较小。,即使它的内容是高大多的。,它仍然需求很长的时间才能相称一任一某一高PR值翻书页。。

针对PageRank算法的不足,有人建议。TrustRank算法。它最初来自斯坦福学院和雅虎的联合讨论。,用于检测垃圾网站。TrestRANK算法的工作规律:率先,手工生产识别高大多翻书页(即种子页)。,由种子页引导的翻书页也可以是一任一某一高大多的翻书页。,即,它的Tr值也很高。,联系在一起从种子翻书页越远。,翻书页的TR值越低。。种子页可以选择更多联系在一起的翻书页。,可选地,具有较高PR值的网站也是可用的。。

TrestRANK算法给出了每个网页的TR值。。将PR值与TR值相结合。,你可以更正确地判断网页的显著。。


7. 写在首要的

谷歌应用PR值对网页举行分级。,有0~10级,普通4或在上文中是好主页。。谷歌自己的公关牺牲是9。,百度也是9。,博客园公关的牺牲则为6。

如今,公关牺牲已经不像以前这么要紧了。、广告联系在一起和功能联系在一起导致公关本身的牺牲,对新网页不友好。,但PR仍然是交通交易中非常要紧的参考因素。。

首要的,有一任一某一图形网站,为PageRank提供动态图表。:点我。

最近,博客花园对标记语法的支持率不高。。免得分子式不完整,,你可以在这里看到。。

参考资料

1:这是搜索引擎。:玉蜀黍发育不良的穗技术详解,张俊林

2:PageRank开始在于那一年的论文:The PageRank Citation Ranking: Bringing Order to the Web

3:维基百科PageRank

4:PageRank算法简介及Map-Reduce实现

5:博客谷歌背后的数学,陆长海

6背后的数学:博客PageRank

7:PageRank算法

8:MapReduce规律与设计思惟

9:应用 MapReduce to compute PageRank

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