PageRank算法–从原理到实现 – 刀刀流

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本文将引见PageRank算法的有关主题。,详细如次:

1。算法源
2。算法规律
三。算法证明患有精神病
代价计算方法
幂迭代法
本征值法
代数法
5.算法实现
由于迭代法的简略实现
5.2 MapReduce实现
算法的缺陷
7。写完
参考资料


1. 算法源

这被期望从搜索引擎的开展开端。。最早应用的搜索引擎是 分级目录[^ref_1] 的方法,执意,手工生产分级网页和团体高优点网站。。那时分 Yahoo 和国际的 hao123 这执意它被应用的方法。。

后头,越来越多的网页。,手工分级是不现实的。。搜索引擎在。 教科书检索 的重大事件,执意,计算用户查询关键词和Web CONE中间的相关性。。这种方法打破了美国昆腾公司的限度局限。,然而搜索顶点过错健康的。。由于始终少量网页往复地骨碌某个琴键。。

因而咱们的领导将顶上覆盖着上演。。没错,谷歌的两位创始人,事先,斯坦福综合性大学。 (斯坦福综合性大学) 综合性大学) 细想生的翻页 (拉里 页) 布林 (波兹南队员克里维茨 布林) 对网页分类的细想开端。。他们运用学术评价的普通方法对ACA的意思举行了根究。, 那执意看报纸被援用多少次。。从这么角度自己去看,网页的意思也可以被评价为ACC。。终于PageRank的精髓思惟是[^ RefI2]的落地。,这很简略:

  • 万一网页被很多的安宁网页交链,这么翻页就更要紧了。,执意,PageRank值将绝对较高。
  • 万一具有高PageRank值的网页交链到另一网页,交链的网页的PageRank值将中肯的补充物

如次图所示(总的印象图)

总的印象图


2. 算法规律

PageRank算法[^ref_3]一般而言执意预给每个网页一PR值(下面用PR值涉及PageRank值),由于PR值是身体检查意思上的,网页是AC的概率。,因而普通来说 \frac{1}{N} $,n这是一网页总额。。那个,普通位置下,一切网页上公关的代价积和为1。。万一过错1,那过错不成能的事的。,顶点,差别网页中间的pr值中间的相干是STI。,它不克不及直系的显示概率。。

预固定PR值后,,迭代经过下面的算法,直到影响的范围变平和散布。。

因特网上的很多的网页可凝视有向图。。下面是一简略的探察[^ RefMy4]:

sample1

此刻,A的pr值可以表现为:

\[ PR(a) = PR(b) + PR(C) \]

不计C而且,,B和D有不已同上链。,终于,是你这么说的嘛!方案是不正确的。。让用户如今阅读B网页。,终于,下一步他翻开对折的或D页是统计数字上同样的的概率。。终于,A公关的代价被期望表现为:

\[ PR(a) = \frac{PR(b)}{2} + \frac{PR(C)}{1} \]

有些网页在互联网用网覆盖上不在。,如次图:

sample1

图达到目标C页无外链。,无PR值对安宁网页的奉献,咱们讨厌这么无私的网页。 Markov 链收敛,终于,它为一切网页安排了一链,包罗它自己。,图达到目标a的pr值可以表现为:

\[ PR(a) = \frac{PR(b)}{2} + \frac{PR(C)}{4} \]

然而让咱们思索可供选择的事物位置。:互联网用网覆盖上的网页除非它自己的拘束。,或几页的链队形一圆状物。。在延续迭代跑过中,这对折的或更多页的pr值只会补充物。,显然是不讲理的的。。拿 … 来说,下面的图片达到目标C页最好的J的网页。:

sample3

为了处理这么问题。咱们设想一恣意的用网覆盖阅读器。,当他抵达C网页时,显然过错婴儿时期地被C的孩子困住了。。咱们让他有必然的可能性,他将进入用网覆盖地址。,跳到每个网页的概率是类似于的。。随即图达到目标a的pr值可以表现为:

\[ PR(a) = \alpha(\frac{PR(b)}{2}) + \frac{(1 – \alpha)}{4}\]

在普通位置下,网页的pr值按如次计算:

\[ PR(p_{i}) = \alpha \sum_{p_{j} \in M_{p_{i}}} \frac{PR(p_{j})}{L(p_{j})} + \frac{(1 – \alpha)}{N} \]

在监狱里\(M_{p_{i}}\)是一切对\(p_{i}\)带链的网页,\(L(p_{j})\)这是一网页\(p_{j}\)输出链数,\(N\)这是一网页总额,\(\alpha\)普通采用。
推理下面的方案,咱们可以计算每个网页公关的代价。,当迭代不乱摆脱掉时,这执意终极顶点。。详细来说,到何种地步不乱。,咱们在下面的PR代价计算方法分派改造解说。


3. 算法证明患有精神病

  • $ \lim_{n 姓 \infty}P_{n} 它在吗?
  • 万一在限制,如果与\(P_0\)选择有关吗?

PageRank算法的合法性包罗以上所述两点[^。为手边的起见,让咱们先翻转PR值的计算方法。。

言传身教。

sample3

咱们可以用矩阵来表现链和柴中间的相干。,\(S_{ij} = 0\)表现\(j\)无翻页。\(i\)用网覆盖去世链:

\[ S =
\left(
\begin{array}{cccc}
0 & 1/2 & 0 & 0 \\
1/3 & 0 & 0 & 1/2 \\
1/3 & 0 & 1 & 1/2 \\
1/3 & 1/2 & 0 & 0 \\
\end{array}
右)
\]

\(e\)在附近的一切议会 1 的列矢径,那时的明确矩阵。:

\[ A = \alpha S + \frac{(1 – \alpha)}{N}ee^T \]

PR值按如次计算,在监狱里\(P_{n}\)由N个迭代达到目标每个翻页公关的代价结合的列矢径。:

\[ P_{n+1} = A P_{n} \]

终于,PR值的计算变为一跑过。 Markov 跑过,那时的将PageRank算法的证明患有精神病转变为证明患有精神病。 Markov 跑过收敛性证明患有精神病:万一这么 Markov 跑过收敛,这么$ \lim_{n 姓 \infty}P_{n} (在),与P00$的选择与它有关。。

万一A Markov 跑过收敛,那时的它的国家转变矩阵(A)需求满足的[^ Ref6]:

  1. A是一随机矩阵。。
  2. A是不成约的。。
  3. A争吵周期性的。。

先看第少量的。,随机矩阵也称为概率矩阵。 Markov 矩阵,满足的跟随使适应:

\[
A.中矩阵I的线J元素A{{ij},则
\forall i = 1 \dots n, j = 1 \dots n, a_{ij} \geq 0, 且
\forall i = 1 \dots n, \sum_{j = 1}^n a_{ij} = 1
\]

显然,咱们A矩阵的一切元素都大于或合计0。,每个列有1个元素。。

另外的点,不成约矩阵:方针A是不成约的。当且仅当与A对应的有向图是强联通的。有向图\(G = (V,E)\)它是强连通的,且仅在附近的每对杂种的。\(u,v \in V\),在从\(u\)\(v\)的方法和资源。由于咱们在先发制人设定用户在阅读翻页的时分有决定概率经过输出网址的方法号召一随机网页,终于,A矩阵也满足的不成约的需要。。

第三点,需要A争吵周期性的。。相同的周期性,显示在马尔柯夫链的周期性。。万一A是周期性的。,那时的,马尔柯夫链的国家是周期性的。。由于A是素矩阵(素矩阵指同一的的某个次幂为正矩阵的矩阵),因而A争吵周期性的。。

到这地步,证明患有精神病了PageRank算法的合法性。。


4. PR代价计算方法

幂迭代法

率先,为每个翻页分派一随机PR值。,那时的经过 P_{n+1} = A P_{n} 迭代迭代PR值。当满足的以下不相同时,迭代完毕。,获取一切翻页公关的代价:

\[ |P_{n+1} – P_{n}| < \epsilon \]

本征值法

当是你这么说的嘛!马尔柯夫链收敛时,,必有:

\[
P = A P 姓 P是对应于矩阵1的本征值的特征矢径。 \\
(随机矩阵必须做的事具有本征值1)。,本征矢径的一切加重值均为正或负。
\]

代数法

相像性的,当是你这么说的嘛!马尔柯夫链收敛时,,必有:

\[
P = A P \\
姓 P = \lgroup \alpha S + \frac{(1 – \alpha)}{N}ee^T \rgroup P \\
由于 e在附近的一切议会 1 的列矢径,P的一切身分积和为1。 \\
姓 P = \alpha SP + \frac{(1 – \alpha)}{N}e \\
姓 (ee^T – \alpha S)P = \frac{(1 – \alpha)}{N}e \\
姓 P = (ee^T – \alpha S)^{-1} \frac{(1 – \alpha)}{N}e \\
\]


5. 算法实现

由于迭代法的简略实现

用python实现[^ref_7],你需求先固定Python图形精髓。。

# -*- coding: utf-8 -*-

from pygraph.classes.digraph import digraph


class PRIterator:
    __doc__ = 计算图片中公关的代价。

    def __init__(self, DG)
         =   # 潮湿系数,即α
         = 100  # 最大迭代次数
        self.min_delta = 0001  # 决定迭代如果完毕。,即ϵ
         = dg

    def page_rank(self):
        #  率先,在图中无链的杂种的被翻转为具有链F。
        for node in .nodes():
            if LeN((杂种的)) == 0:
                for node2 in .nodes():
                    (, (杂种的), node2))

        nodes = .nodes()
        graph_size = len(杂种的)s)

        if graph_size == 0:
            return {}
        page_rank = (杂种的)s, 1.0 / graph_size)  # 将初始PR值分派给每个杂种的。
        damping_value = (1.0 - ) / graph_size  # 方案的(1*a)/n分派

        flag = False
        for i in range():
            change = 0
            for node in nodes:
                rank = 0
                for incident_page in .incidents(杂种的)):  # 遍历一切输出翻页
                    rank +=  * (page_rank[incident_page] / len((incident_page)))
                rank += damping_value
                change += ABS(PaGeQueRange[杂种的] - 超过)  # 绝对
                page_rank[杂种的] = rank

            油印(这么 is NO.%s iteration" % (i + 1))
            print(page_超过)

            if change < self.min_delta:
                flag = True
                break
        if flag:
            print("finished in %s iterations!" % node)
        else:
            print("finished out of 100 iterations!")
        return page_rank


if __name__ == ''__main__'':
    dg = digraph()

    [(a)], "B", "C", "D", "E"])

    ((a), "B"))
    ((a), "C"))
    ((a), "D"))
    (("B", "D"))
    (("C", "E"))
    (("D", "E"))
    (("B", "E"))
    (("E", A

    pr = PRIterator(dg)
    page_ranks = ()

    油印( final page rank is\n", page_ranks)

运行顶点:

finished in 36 iterations!
The final page rank is
{A , ''C'': , ''B'': , ''E'': , ''D'': }

程序中给出的网页中间的相干从:

begin

迭代的完毕如次:

end

5.2 MapReduce实现

作为Hadoop(散布式系统平台)的精髓模块之一,MapReduce是一种高效的散布式计算框架。。让咱们从MapReduce规律的简略引见开端。。

相同的的MapReduce,有两个操作。:Mapping和Reducing[^ref_8]。

  • 映射(映射):对集合达到目标每个目标应用同样的的操作。。
  • 简化(约简) ):遍历返回的映射中返回的元素以返回一综合。

举个典型探察。:如今有3个教科书文件。,有必要计算一切有吸引力的单词的词频。。传统的想法是让一人顺序阅读这3个文件,每遇到一字,看看你以前如果见过面。。词频加上遇到的一。:(词语),N + 1),否则,新单词将被记录下来。,词频一:(词语),1)。

MapReduce方法是:把这3份文件分成3个人。,每个人都阅读文档。。每当我遇到一字,把这么单词记下来。:(词语),1)(无论你以前如果遇到过这么词),执意,可能有多个同样的的词。。之后,将发送另一人来添加同样的的单词。,终极的顶点可以得到。。

词频统计的详细实现可见点我。

下面是应用MapReduce实现PageRank的详细代码[^ref_9]。率先是通用地图和还原模块。。万一你觉得很难理解,可以先看看词频统计的实现代码,下面的模块也被应用。:

class MapReduce:
    __doc__ = ''提供MaPixRead函数''。

    @staticmethod
    def map_reduce(i, mapper, 减速机)
        """
        map_reduce方法
        :param i: 需求一MapReduce的集合。
        :param mapper: 自明确映射器方法
        :param reducer: 定制减速器法
        :return: 以定制减速器法的返回值为元素的一列表
        """
        intermediate = []  # 存储一切(中间的)密钥, intermediate_代价)
        for (钥匙, 代价) in i.items():
            (mapper(钥匙, 代价))

        # 排序返回一有序的列表。,由于列表达到目标元素是元组。,密钥是推理元组达到目标前几个元素来设置的。
        # GROPBY提取迭代器达到目标相邻重复元素,并将T,密钥推理前几项设置重复元素的选择。
        # 下面的循环中groupby返回的key是intermediate_key,和组是列表。,它是1个或更多。
        # 有着同样的intermediate_key的(intermediate_key, intermediate_代价)
        groups = {}
        for key, group in itertools.groupby(sorted(intermediate, key=lambda im: IM〔0〕, key=lambda x: x[0]):
            组[键] = [y for x, y in 组
        # 群组是一本字典。,它的关键是下面提到的中间体。,value为一切对应intermediate_key的intermediate_value
        # 议会列表
        return [reducer(intermediate_key, groups[intermediate_key]) for intermediate_key in 组

接下来是PR值的计算的类。,在监狱里实现了用于PR值的计算的mapper和reducer:

class PRMapReduce:
    __doc__ = PR值的计算

    def __init__(self, DG)
         =   # 潮湿系数,即α
         = 100  # 最大迭代次数
        self.min_delta = 0001  # 决定迭代如果完毕。,即ϵ
         = len(())  # 网页总额

        # 图代表整个用网覆盖图。。是字典类型。
        # graph[i][0] 存储翻页公关的代价
        # graph[i][1] 存放第i用网覆盖去世链美国昆腾公司
        # graph[i][2] 存放第i用网覆盖去世链网页,这是一张单子。
         = {}
        for node in ():
            [杂种的] = [1.0 / , LeN((杂种的)), (杂种的))]

    def ip_mapper(self, input_key, input_代价):
        """
        查看网页如果有链。,返回值达到目标 1 无身体检查意思。,最好的为了在
        MpjRoad达到目标组字典的密钥仅为1。,中肯的的值都是挂起的网页。
        公关的代价
        :param input_key: 网页名,如 A
        :param input_value: [input_key]
        :return: 万一无去世链,挂网页,那时的回到[(1),这么网页公关的代价)];否则,它将返回。
        """
        if input_value[1] == 0:
            return [(1, input_值〔0〕]
        else:
            return []

    def ip_reducer(self, input_key, input_value_list):
        """
        计算一切悬挂网页公关的代价积和
        :param input_key: 推理IPML映射器的返回值,这么输出键是:1
        :param input_value_list: 一切悬挂网页公关的代价
        :return: 一切悬挂网页公关的代价积和
        """
        return sum(input_value_list)

    def pr_mapper(self, input_key, input_代价):
        """
        映射法
        :param input_key: 网页名,如 A
        :param input_value: [input_key],执意,这么网页上的相关信息。
        :return: [网页名称], ), (外链第1页), 出链网页1分得公关的代价), (外链第2页), 出链网页2分得公关的代价)...]
        """
        return [(input_key, )] + [(out_link, input_value[0] / input_value[1]) for out_link in input_value[2]]

    def pr_reducer_inter(self, intermediate_key, intermediate_value_list, DP)
        """
        还原法
        :param intermediate_key: 网页名,如 A
        :param intermediate_value_list: A一切分得公关的代价的列表:[,分得公关的代价,分得公关的代价...]
        :param dp: 一切悬挂网页公关的代价积和
        :return: (页名),计算所得公关的代价)
        """
        return (intermediate_key,
                 * sum(intermediate_value_list) +
                 * dp /  +
                (1.0 - ) / )

    def page_rank(self):
        """
        PR值的计算,每次迭代都需求两次调用MapReduce。。一次是计算悬挂网页PR值积和,一次
        是计算一切网页公关的代价
        :return: ,在监狱里公关的代价已经计算好
        """
        iteration = 1  # 迭代次数
        change = 1  # 记录每轮迭代后公关的代价变化位置,初始值为1,确保至少一次迭代。
        while change > self.min_delta:
            油印(迭代 " + STR(迭代)

            # 由于可能有网页挂起。,这执意为什么咱们有以下的DangLink列表。
            # dangling_list存放的是[一切悬挂网页公关的代价积和]
            # dp表现一切悬挂网页公关的代价积和
            dangling_list = (, self.ip_mapper, self.ip_reducer)
            if dangling_list:
                dp = dangling_list[0]
            else:
                dp = 0

            # 由于所需的减速器只能有两个参数。,而咱们
            # 需求传3个参数(多了一一切悬挂网页公关的代价积和,执意,DP),因而用它
            # 下面的lambda表达式用于实现该目标。
            # NexPr是一列表。,元素为:(页名),计算所得公关的代价)
            new_pr = (, self.pr_mapper, lambda x, y: self.pr_reducer_inter(x, y, DP)

            # 计算这么车轮的PR值的变化。
            change = 求和([ABS(NexPr[i])〔1〕 - [new_pr[i][0]][0]) for i in range()])
            油印(更改 " + STR(变化)

            # 更新公关代价
            for i in range():
                [new_pr[i][0]][0] = new_pr[i][1]
            iteration += 1
        return 

顶点一分派是测试分派。,我用Python的有向图来创建有向图。,并调用下面的方法来PR值的计算:

if __name__ == ''__main__'':
    dg = digraph()

    [(a)], "B", "C", "D", "E"])

    ((a), "B"))
    ((a), "C"))
    ((a), "D"))
    (("B", "D"))
    (("C", "E"))
    (("D", "E"))
    (("B", "E"))
    (("E", A

    pr = PRMapReduce(dg)
    page_ranks = ()

    油印( final page rank 是
    for key, value in page_ranks.items():
        print(钥匙 + " : ", 值〔0〕

附加操作顶点:

Iteration: 44
Change: 1.275194338951069e-05
Iteration: 45
Change: 1.0046004543212694e-05
Iteration: 46
Change: 7.15337406470562e-06
The final page rank is
E :  0.3133376132128915
C :  0.11396289866948645
B :  0.11396289866948645
A :  0.2963400114149353
D :  0.1623965780332006

以上所述便是PageRank的MapReduce实现。代码达到目标注释更详细。,这被期望很容易理解。。


这是一天才算法。,规律简略,效果却令人惊叹。。然而,在PageRank算法中仍然在某个缺陷。。

第一,站导航链路中间无区别。。很多的网站有很多交链到安宁网页在他们的主页上。,称为交链导航交链。这些交链与差别网站中间的交链举行比较。,当那时的者更能传递传递相干。。

另外的,无过滤交链和功能交链被过滤。(拿 ... 来说,共同分享微博)。。这些交链通常无什么实用代价。,前者交链到广告翻页。,后者经常交链到社交网站的主页。。

第三,对新网页不友好。一新的网页的总入口链绝对较小。,即使它的内容是高优点的。,它仍然需求很长的时间才能变为一高PR值翻页。。

针对PageRank算法的不足,有人建议。TrustRank算法。它最初来自斯坦福综合性大学和雅虎的联合细想。,用于检测垃圾网站。TrestRANK算法的工作规律:率先,手工生产识别高优点翻页(即种子页)。,由种子页引导的翻页也可以是一高优点的翻页。,执意,它的Tr值也很高。,交链从种子翻页越远。,翻页的TR值越低。。种子页可以选择更多交链的翻页。,可选地,具有较高PR值的网站也是可用的。。

TrestRANK算法给出了每个网页的TR值。。将PR值与TR值相结合。,你可以更正确地判断网页的意思。。


7. 写在顶点

谷歌应用PR值对网页举行分级。,有0~10级,普通4或以上所述是好主页。。谷歌自己的公关代价是9。,百度也是9。,博客园公关的代价则为6。

如今,公关代价已经不像以前这么要紧了。、广告交链和功能交链导致公关本身的代价,对新网页不友好。,但PR仍然是交通交易中非常要紧的参考因素。。

顶点,有一图形网站,为PageRank提供动态图表。:点我。

最近,博客花园对标记语法的支持率不高。。万一方案不完整,,你可以在这里看到。。

参考资料

1:这是搜索引擎。:精髓技术详解,张俊林

2:PageRank落地于那一年的论文:The PageRank Citation Ranking: Bringing Order to the Web

3:维基百科PageRank

4:PageRank算法简介及Map-Reduce实现

5:博客谷歌背后的数学,陆长海

6背后的数学:博客PageRank

7:PageRank算法

8:MapReduce规律与设计思惟

9:应用 MapReduce to compute PageRank

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